En matemáticas , la prueba de razón es una prueba (o "criterio") para la convergencia de una serie.
donde cada término es un número real o complejo y una n es distinta de cero cuando n es grande. La prueba fue publicada por primera vez por Jean le Rond d'Alembert y a veces se la conoce como prueba de relación de d'Alembert o prueba de relación de Cauchy . [1]
La prueba
La forma habitual de la prueba hace uso del límite
( 1 )
La prueba de razón establece que:
- si L <1 entonces la serie converge absolutamente ;
- si L > 1 entonces la serie es divergente ;
- si L = 1 o el límite no existe, entonces la prueba no es concluyente, porque existen series convergentes y divergentes que satisfacen este caso.
Es posible hacer que la prueba de relación sea aplicable a ciertos casos en los que el límite L no existe, si se utilizan límite superior y límite inferior . Los criterios de la prueba también se pueden refinar para que la prueba sea a veces concluyente incluso cuando L = 1. Más específicamente, sea
- .
Luego, la prueba de razón establece que: [2] [3]
- si R <1, la serie converge absolutamente;
- si r > 1, la serie diverge;
- Si para todo n grande (independientemente del valor de r ), la serie también diverge; esto es porquees distinto de cero y creciente y, por lo tanto, una n no se acerca a cero;
- de lo contrario, la prueba no es concluyente.
Si existe el límite L en ( 1 ), debemos tener L = R = r . Entonces, la prueba de relación original es una versión más débil de la refinada.
Ejemplos de
Convergente porque L <1
Considere la serie
Aplicando la prueba de razón, se calcula el límite
Dado que este límite es menor que 1, la serie converge.
Divergente porque L > 1
Considere la serie
Poniendo esto en la prueba de proporción:
Por tanto, la serie diverge.
No concluyente porque L = 1
Considere las tres series
La primera serie ( 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ) diverge, la segunda (la central del problema de Basilea ) converge absolutamente y la tercera (la serie armónica alterna ) converge condicionalmente. Sin embargo, las razones de magnitud término por término de las tres series son respectivamente y . Entonces, en los tres casos, uno tiene que el límitees igual a 1. Esto ilustra que cuando L = 1, la serie puede converger o divergir y, por lo tanto, la prueba de razón original no es concluyente. En tales casos, se requieren pruebas más refinadas para determinar la convergencia o divergencia.
Prueba
A continuación se muestra una prueba de la validez de la prueba de relación original.
Suponer que . Entonces podemos mostrar que la serie converge absolutamente al mostrar que sus términos eventualmente serán menores que los de una cierta serie geométrica convergente . Para hacer esto, deja. Entonces r está estrictamente entre L y 1, ypara n suficientemente grande ; decir, para todos n mayor que N . Por esopara cada n > N e i > 0, y así
Es decir, la serie converge absolutamente.
Por otro lado, si L > 1, entoncespara n suficientemente grande , de modo que el límite de los sumandos sea distinto de cero. Por tanto, la serie diverge.
Extensiones para L = 1
Como se vio en el ejemplo anterior, la prueba de razón puede no ser concluyente cuando el límite de la razón es 1. Sin embargo, las extensiones a la prueba de razón permiten a veces lidiar con este caso. [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]
En todas las pruebas siguientes, se supone que Σ a n es una suma con a n positivo . Estas pruebas también se pueden aplicar a cualquier serie con un número finito de términos negativos. Cualquiera de estas series puede escribirse como:
donde una N es el término negativo con el índice más alto. La primera expresión de la derecha es una suma parcial que será finita, por lo que la convergencia de toda la serie estará determinada por las propiedades de convergencia de la segunda expresión de la derecha, que puede volver a indexarse para formar una serie de todos términos positivos que comienzan en n = 1.
Cada prueba define un parámetro de prueba (ρ n ) que especifica el comportamiento de ese parámetro necesario para establecer convergencia o divergencia. Para cada prueba, existe una forma más débil de la prueba que, en cambio, impondrá restricciones sobre lim n-> ∞ ρ n .
Todas las pruebas tienen regiones en las que no describen las propiedades de convergencia de ∑a n . De hecho, ninguna prueba de convergencia puede describir completamente las propiedades de convergencia de la serie. [4] [10] Esto se debe a que si ∑a n es convergente, se puede encontrar una segunda serie convergente ∑b n que converge más lentamente: es decir, tiene la propiedad de que lim n-> ∞ (b n / a n ) = ∞. Además, si ∑a n es divergente, se puede encontrar una segunda serie divergente ∑b n que diverge más lentamente: es decir, tiene la propiedad de que lim n-> ∞ (b n / a n ) = 0. Las pruebas de convergencia utilizan esencialmente la prueba de comparación en alguna familia particular de n , y falla para secuencias que convergen o divergen más lentamente.
Jerarquía de De Morgan
Augustus De Morgan propuso una jerarquía de pruebas de tipo proporcional [4] [9]
Los parámetros de la prueba de relación () a continuación, todos generalmente involucran términos del formulario . Este término se puede multiplicar por ceder . Este término puede reemplazar al término anterior en la definición de los parámetros de prueba y las conclusiones extraídas seguirán siendo las mismas. Por consiguiente, no se hará ninguna distinción entre las referencias que utilizan una u otra forma del parámetro de prueba.
1. Prueba de la relación de d'Alembert
La primera prueba en la jerarquía de De Morgan es la prueba de razón como se describe arriba.
2. Prueba de Raabe
Esta extensión se debe a Joseph Ludwig Raabe . Definir:
(y algunos términos adicionales, consulte Ali, Blackburn, Feld, Duris (ninguno), Duris2)
- Convergen cuando existe un c> 1 tal quepara todos n> N .
- Divergir cuando para todos n> N .
- De lo contrario, la prueba no es concluyente.
Para la versión limitada, [12] la serie:
- Converger si (esto incluye el caso ρ = ∞)
- Diverge si .
- Si ρ = 1, la prueba no es concluyente.
Cuando el límite anterior no existe, es posible utilizar límites superiores e inferiores. [4] La serie:
- Converger si
- Diverge si
- De lo contrario, la prueba no es concluyente.
Prueba de la prueba de Raabe
Definiendo , no necesitamos asumir que el límite existe; Si, luego diverge, mientras que si la suma converge.
La prueba procede esencialmente por comparación con . Supongamos primero que. Por supuesto si luego para grande , entonces la suma diverge; asume entonces que. Existe tal que para todos , lo que quiere decir que . Por lo tanto, lo que implica que por ; desde esto muestra que diverge.
La prueba de la otra mitad es completamente análoga, con la mayoría de las desigualdades simplemente invertidas. Necesitamos una desigualdad preliminar para usar en lugar de la simple que se usó anteriormente: Arreglar y . Tenga en cuenta que. Entonces; por eso.
Supongamos ahora que . Argumentando como en el primer párrafo, utilizando la desigualdad establecida en el párrafo anterior, vemos que existe tal que por ; desde esto muestra que converge.
3. Prueba de Bertrand
Esta extensión se debe a Joseph Bertrand y Augustus De Morgan .
Definiendo:
La prueba de Bertrand [4] [10] afirma que la serie:
- Convergen cuando existe un c> 1 tal quepara todos n> N .
- Divergir cuando para todos n> N .
- De lo contrario, la prueba no es concluyente.
Para la versión límite, la serie:
- Converger si (esto incluye el caso ρ = ∞)
- Diverge si .
- Si ρ = 1, la prueba no es concluyente.
Cuando el límite anterior no existe, es posible utilizar límites superiores e inferiores. [4] [9] [13] La serie:
- Converger si
- Diverge si
- De lo contrario, la prueba no es concluyente.
4. Prueba de Bertrand ampliada
Esta extensión probablemente apareció por primera vez por Margaret Martin en. [14] Se proporciona una prueba breve basada en la prueba de Kummer y sin supuestos técnicos (como la existencia de los límites, por ejemplo). [15]
Dejar ser un número entero y dejar denotar el la iteración del logaritmo natural , es decir y para cualquier , .
Suponga que la razón , Cuándo es grande, se puede presentar en la forma
(Se supone que la suma vacía es 0. Con , la prueba se reduce a la prueba de Bertrand).
El valor se puede presentar explícitamente en la forma
La prueba extendida de Bertrand afirma que la serie
- Convergen cuando existe un tal que para todos .
- Divergir cuando para todos .
- De lo contrario, la prueba no es concluyente.
Para la versión límite, la serie
- Converger si (esto incluye el caso )
- Diverge si .
- Si , la prueba no es concluyente.
Cuando el límite anterior no existe, es posible utilizar límites superiores e inferiores. Las series
- Converger si
- Diverge si
- De lo contrario, la prueba no es concluyente.
Para conocer las aplicaciones de la prueba de Bertrand ampliada, consulte el proceso de nacimiento-muerte .
5. Prueba de Gauss
Esta ampliación se debe a Carl Friedrich Gauss .
Suponiendo que a n > 0 y r> 1 , si se puede encontrar una secuencia acotada C n tal que para todo n : [5] [7] [9] [10]
entonces la serie:
- Converger si
- Diverge si
6. Prueba de Kummer
Esta extensión se debe a Ernst Kummer .
Sea ζ n una secuencia auxiliar de constantes positivas. Definir
La prueba de Kummer establece que la serie: [5] [6] [10] [11]
- Convergen si existe un tal que para todo n> N. (Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que decir)
- Diverge si para todo n> N y diverge.
Para la versión limitada, la serie: [16] [7] [9]
- Converger si (esto incluye el caso ρ = ∞)
- Diverge si y diverge.
- De lo contrario, la prueba no es concluyente.
Cuando el límite anterior no existe, es posible utilizar límites superiores e inferiores. [4] La serie
- Converger si
- Diverge si y diverge.
Casos especiales
Todas las pruebas en la jerarquía de De Morgan, excepto la prueba de Gauss, pueden verse fácilmente como casos especiales de la prueba de Kummer: [4]
- Para la prueba de razón, sea ζ n = 1. Luego:
- Para la prueba de Raabe, sea ζ n = n. Luego:
- Para la prueba de Bertrand, sea ζ n = n ln (n). Luego:
- Utilizando y aproximándosepara n grande , que es insignificante en comparación con los otros términos, puede estar escrito:
- Para la prueba extendida de Bertrand, deje De la expansión de la serie Taylor para grandesllegamos a la aproximación
donde se supone que el producto vacío es 1. Entonces,
Por eso,
Tenga en cuenta que para estas cuatro pruebas, cuanto más alto estén en la jerarquía de De Morgan, más lentamente será la serie diverge.
Prueba de la prueba de Kummer
Si luego arregla un número positivo . Existe un numero natural tal que por cada
Desde , para cada
En particular para todos lo que significa que a partir del índice la secuencia es monótonamente decreciente y positiva, lo que en particular implica que está delimitado por debajo de 0. Por lo tanto, el límite
- existe.
Esto implica que la serie telescópica positiva
- es convergente,
y ya que para todos
por la prueba de comparación directa para series positivas, la serie es convergente.
Por otro lado, si , entonces hay una N tal que está aumentando para . En particular, existe una para cual para todos , y entonces diverge en comparación con .
Segunda prueba de relación de Ali
Una prueba de relación más refinada es la segunda prueba de relación: [7] [9] Para definir:
Según la segunda prueba de proporción, la serie:
- Converger si
- Diverge si
- Si entonces la prueba no es concluyente.
Si los límites anteriores no existen, es posible utilizar los límites superior e inferior. Definir:
Entonces la serie:
- Converger si
- Diverge si
- Si entonces la prueba no es concluyente.
Ali's prueba de relación
Esta prueba es una extensión directa de la segunda prueba de proporción. [7] [9] Para y positivo definir:
Por el prueba de relación, la serie:
- Converger si
- Diverge si
- Si entonces la prueba no es concluyente.
Si los límites anteriores no existen, es posible utilizar los límites superior e inferior. Para definir:
Entonces la serie:
- Converger si
- Diverge si
- Si , entonces la prueba no es concluyente.
Ali-Deutsche Cohen -prueba de razón
Esta prueba es una extensión de la prueba de relación. [17]
Suponga que la secuencia es una secuencia decreciente positiva.
Dejar ser tal que existe. Denotary asumir .
Suponga también que
Entonces la serie:
- Converger si
- Diverge si
- Si , entonces la prueba no es concluyente.
Ver también
- Prueba de raíz
- Radio de convergencia
Notas al pie
- ^ Weisstein, Eric W. "Prueba de relación" . MathWorld .
- ↑ Rudin 1976 , §3.34
- ^ Apostol 1974 , §8.14
- ^ a b c d e f g h Bromwich, TJ I'A (1908). Introducción a la teoría de las series infinitas . Libros comerciales.
- ^ a b c Knopp, Konrad (1954). Teoría y aplicación de series infinitas . Londres: Blackie & Son Ltd.
- ^ a b Tong, Jingcheng (mayo de 1994). "Prueba de Kummer da caracterizaciones para la convergencia o divergencia de todas las series positivas". The American Mathematical Monthly . 101 (5): 450–452. doi : 10.2307 / 2974907 . JSTOR 2974907 .
- ^ a b c d e f Ali, Sayel A. (2008). "La prueba de relación mth: nueva prueba de convergencia para la serie" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 115 (6): 514-524. doi : 10.1080 / 00029890.2008.11920558 . S2CID 16336333 . Consultado el 21 de noviembre de 2018 .
- ^ Samelson, Hans (noviembre de 1995). "Más sobre la prueba de Kummer". The American Mathematical Monthly . 102 (9): 817–818. doi : 10.2307 / 2974510 . JSTOR 2974510 .
- ^ a b c d e f g h Blackburn, Kyle (4 de mayo de 2012). "La prueba de convergencia de relación mth y otras pruebas de convergencia no convencionales" (PDF) . Facultad de Artes y Ciencias de la Universidad de Washington . Consultado el 27 de noviembre de 2018 .
- ^ a b c d e f Ďuriš, František (2009). Serie infinita: Pruebas de convergencia (Tesis de licenciatura). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava . Consultado el 28 de noviembre de 2018 .
- ^ a b Ďuriš, František (2 de febrero de 2018). "Sobre la prueba de convergencia de Kummer y su relación con las pruebas de comparación básicas". arXiv : 1612.05167 [ matemáticas.HO ].
- ^ Weisstein, Eric W. "Prueba de Raabe" . MathWorld .
- ^ Weisstein, Eric W. "Prueba de Bertrand" . MathWorld .
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- ^ Weisstein, Eric W. "Prueba de Kummer" . MathWorld .
- ^ Ali, Sayel; Cohen, Marion Deutsche (2012). "pruebas de relación phi" . Elemente der Mathematik . 67 (4): 164–168. doi : 10.4171 / EM / 206 .
Referencias
- d'Alembert, J. (1768), Opuscules , V , págs. 171-183.
- Apostol, Tom M. (1974), Análisis matemático (2a ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1: §8.14.
- Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series , Nueva York: Dover Publications, Bibcode : 1956iss..book ..... K , ISBN 978-0-486-60153-3: §3.3, 5.4.
- Rudin, Walter (1976), Principios del análisis matemático (3.a ed.), Nueva York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8: §3.34.
- "Criterio de Bertrand" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Criterio de Gauss" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Criterio de Kummer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Watson, GN; Whittaker, ET (1963), Un curso de análisis moderno (4a ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2: §2.36, 2.37.