En el análisis numérico , los nodos de Chebyshev son números algebraicos reales específicos , es decir, las raíces de los polinomios de Chebyshev del primer tipo . A menudo se utilizan como nodos en la interpolación polinómica porque el polinomio de interpolación resultante minimiza el efecto del fenómeno de Runge . [2]
Definición
Para un entero positivo dado n, los nodos de Chebyshev en el intervalo (-1, 1) son
Estas son las raíces del polinomio de Chebyshev del primer tipo de grado n . Para los nodos en un intervalo arbitrario [ a , b ], se puede usar una transformación afín :
Aproximación
Los nodos de Chebyshev son importantes en la teoría de la aproximación porque forman un conjunto de nodos particularmente bueno para la interpolación polinómica . Dada una función f en el intervalo y puntos en ese intervalo, el polinomio de interpolación es ese polinomio único de grado como máximo que tiene valor en cada punto . El error de interpolación en es
para algunos (dependiendo de x) en [−1, 1]. [3] Por lo tanto, es lógico intentar minimizar
Este producto es un mónico polinomio de grado n . Puede demostrarse que el valor absoluto máximo (norma máxima) de cualquiera de estos polinomios está acotado desde abajo por 2 1− n . Este límite se obtiene mediante los polinomios escalados de Chebyshev 2 1− n T n , que también son mónicos. (Recuerde que | T n ( x ) | ≤ 1 para x ∈ [−1, 1]. [4] ) Por lo tanto, cuando los nodos de interpolación x i son las raíces de T n , el error satisface
Para un intervalo arbitrario [ a , b ], un cambio de variable muestra que
Notas
- ^ Lloyd N. Trefethen, Teoría de la aproximación y práctica de la aproximación (SIAM, 2012). En línea: https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/ATAP/
- ^ Fink, Kurtis D. y John H. Mathews. Métodos numéricos usando MATLAB . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall, 1999. 3ª ed. págs. 236-238.
- ↑ Stewart (1996) , (20,3)
- ^ Stewart (1996) , Conferencia 20, §14
Referencias
Otras lecturas
- Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis , 8ª ed., Páginas 503–512, ISBN 0-534-39200-8 .