En matemáticas , la ecuación de Chrystal es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden , llamada así por el matemático George Chrystal , quien discutió la solución singular de esta ecuación en 1896. [1] La ecuación se lee como [2] [3]
dónde son constantes, que al resolver para , da
Esta ecuación es una generalización de la ecuación de Clairaut ya que se reduce a la ecuación de Clairaut bajo ciertas condiciones como se indica a continuación.
Solución
Introduciendo la transformación da
Ahora, la ecuación es separable, por lo tanto
El denominador del lado izquierdo se puede factorizar si resolvemos las raíces de la ecuación y las raíces son , por lo tanto
Si , la solucion es
dónde es una constante arbitraria. Si, () entonces la solución es
Cuando una de las raíces es cero, la ecuación se reduce a la ecuación de Clairaut y se obtiene una solución parabólica en este caso, y la solucion es
La familia de parábolas anterior está envuelta por la parábola , por tanto, esta parábola envolvente es una solución singular .
Referencias
- ^ Chrystal G., "Sobre el p-discriminante de una ecuación diferencial de primer orden y sobre ciertos puntos en la teoría general de las envolventes conectadas con él". Trans. Roy. Soc. Edin, vol. 38, 1896, págs. 803–824.
- ^ Davis, Harold Thayer. Introducción a las ecuaciones integrales y diferenciales no lineales. Courier Corporation, 1962.
- ^ Ince, EL (1939). Ecuaciones diferenciales ordinarias, Londres (1927). Google Académico.