Una solución singular y s ( x ) de una ecuación diferencial ordinaria es una solución que es singular o una para la cual el problema de valor inicial (también llamado problema de Cauchy por algunos autores) no tiene una solución única en algún punto de la solución. El conjunto en el que una solución es singular puede ser tan pequeño como un solo punto o tan grande como la línea real completa. Las soluciones que son singulares en el sentido de que el problema del valor inicial no tiene una solución única no necesitan ser funciones singulares .
En algunos casos, el término solución singular se utiliza para referirse a una solución en la que hay una falla de unicidad del problema de valor inicial en cada punto de la curva. Una solución singular en este sentido más fuerte a menudo se da como tangente a cada solución de una familia de soluciones. Por tangente queremos decir que hay un punto x donde y s ( x ) = y c ( x ) y y ' s ( x ) = y' c ( x ) donde y c es una solución en una familia de soluciones parametrizadas porc . Esto significa que la solución singular es la envoltura de la familia de soluciones.
Por lo general, las soluciones singulares aparecen en ecuaciones diferenciales cuando existe la necesidad de dividir en un término que podría ser igual a cero . Por lo tanto, cuando uno está resolviendo una ecuación diferencial y usando la división, debe verificar qué sucede si el término es igual a cero y si conduce a una solución singular. El teorema de Picard-Lindelöf , que proporciona condiciones suficientes para que existan soluciones únicas, se puede utilizar para descartar la existencia de soluciones singulares. Otros teoremas, como el teorema de existencia de Peano , dan condiciones suficientes para que existan soluciones sin ser necesariamente únicas, lo que puede permitir la existencia de soluciones singulares.
Una solución divergente
Considere la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea
donde los primos denotan derivadas con respecto a x . La solución general a esta ecuación es
Para una dada , esta solución es suave excepto en donde la solución es divergente. Además, para un, esta es la solución única que atraviesa .
Fracaso de la unicidad
Considere la ecuación diferencial
Una familia de soluciones de un parámetro a esta ecuación viene dada por
Otra solución viene dada por
Dado que la ecuación que se estudia es una ecuación de primer orden, las condiciones iniciales son los valores iniciales de x e y . Al considerar los dos conjuntos de soluciones anteriores, se puede ver que la solución no es única cuando. (Se puede demostrar que parasi se elige una sola rama de la raíz cuadrada, entonces hay una solución local que es única usando el teorema de Picard-Lindelöf .) Por lo tanto, las soluciones anteriores son todas soluciones singulares, en el sentido de que la solución no es única en una vecindad de uno o más puntos. (Por lo general, decimos "la unicidad falla" en estos puntos). Para el primer conjunto de soluciones, la unicidad falla en un punto, y para la segunda solución, la unicidad falla en cada valor de . Por lo tanto, la soluciónes una solución singular en el sentido más fuerte de que la unicidad falla en cada valor de x . Sin embargo, no es una función singular ya que ella y todas sus derivadas son continuas.
En este ejemplo, la solución es la envoltura de la familia de soluciones . La solución es tangente a cada curva en el punto .
El fracaso de la unicidad se puede utilizar para construir más soluciones. Estos se pueden encontrar tomando dos constantes y definiendo una solución ser - estar Cuándo , ser - estar Cuándo y ser Cuándo . El cálculo directo muestra que esta es una solución de la ecuación diferencial en cada punto, incluyendo y . La unicidad falla para estas soluciones en el intervalo, y las soluciones son singulares, en el sentido de que la segunda derivada no existe, en y .
Otro ejemplo de fracaso de la unicidad
El ejemplo anterior podría dar la impresión errónea de que el fracaso de la unicidad está directamente relacionado con . El fracaso de la unicidad también se puede ver en el siguiente ejemplo de la ecuación de Clairaut :
Escribimos y '= py luego
Ahora, tomaremos el diferencial según x :
que por álgebra simple produce
Esta condición se resuelve si 2p + x = 0 o si p '= 0 .
Si p ' = 0 significa que y' = p = c = constante, y la solución general de esta nueva ecuación es:
donde c está determinado por el valor inicial.
Si x + 2 p = 0 entonces obtenemos que p = - (1/2) xy sustituyendo en la EDO da
Ahora comprobaremos cuándo estas soluciones son soluciones singulares. Si dos soluciones se cruzan, es decir, ambas pasan por el mismo punto (x, y) , entonces hay una falla de unicidad para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Por lo tanto, habrá una falla de unicidad si una solución de la primera forma se cruza con la segunda solución.
La condición de intersección es: y s ( x ) = y c ( x ). Solucionamos
para encontrar el punto de intersección, que es .
Podemos verificar que las curvas son tangentes en este punto y ' s ( x ) = y' c ( x ). Calculamos las derivadas :
Por eso,
es tangente a cada miembro de la familia de soluciones de un solo parámetro
de esta ecuación de Clairaut:
Ver también
Bibliografía
- Rozov, N.Kh. (2001) [1994], "Solución singular" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press