En análisis matemático , la ecuación de Clairaut (o la ecuación de Clairaut ) es una ecuación diferencial de la forma
donde f es continuamente diferenciable . Es un caso particular de la ecuación diferencial de Lagrange. Lleva el nombre del matemático francés Alexis Clairaut , quien lo introdujo en 1734. [1]
Definición
Para resolver la ecuación de Clairaut, se diferencia con respecto ax , dando
entonces
Por lo tanto, o
o
En el primer caso, C = dy / dx para alguna constante C . Sustituyendo esto en la ecuación de Clairaut, se obtiene la familia de funciones de línea recta dadas por
la llamada solución general de la ecuación de Clairaut.
El último caso,
define solo una solución y ( x ), la llamada solución singular , cuya gráfica es la envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular generalmente se representa usando notación paramétrica, como ( x ( p ), y ( p )), donde p = dy / dx .
Ejemplos de
Las siguientes curvas representan las soluciones de dos ecuaciones de Clairaut:
En cada caso, las soluciones generales se representan en negro mientras que la solución singular está en violeta.
Extensión
Por extensión, una ecuación diferencial parcial de primer orden de la forma
también se conoce como ecuación de Clairaut. [2]
Ver también
Notas
- ^ Clairaut 1734 .
- ^ Kamke, 1944 .
Referencias
- Clairaut, Alexis Claude (1734), "Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste en una cierta relación entre leurs ramas, exprimée par une Équation donnée". , Histoire de l'Académie royale des sciences : 196–215.
- Kamke, E. (1944), Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (en alemán), 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, Akad. Verlagsgesell.
- Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Clairaut" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.