Problema de número de clase
En matemáticas , el problema del número de clase de Gauss ( para campos cuadráticos imaginarios ), como se suele entender, es proporcionar para cada n ≥ 1 una lista completa de campos cuadráticos imaginarios (para enteros negativos d ) que tengan el número de clase n . Lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss . También puede expresarse en términos de discriminantes . Hay preguntas relacionadas para campos cuadráticos reales y para el comportamiento como .
La dificultad está en el cálculo efectivo de los límites: para un discriminante dado, es fácil calcular el número de clase y hay varios límites inferiores ineficaces en el número de clase (lo que significa que involucran una constante que no se calcula), pero límites efectivos ( y pruebas explícitas de la completitud de las listas) son más difíciles.
Los problemas se plantean en las Disquisitiones arithmeticae de Gauss de 1801 (sección V, artículos 303 y 304). [1]
Gauss discute campos cuadráticos imaginarios en el artículo 303, enunciando las dos primeras conjeturas, y discute campos cuadráticos reales en el artículo 304, enunciando la tercera conjetura.
El problema del número de clase de Gauss original para campos cuadráticos imaginarios es significativamente diferente y más fácil que el enunciado moderno: restringió incluso a los discriminantes y permitió discriminantes no fundamentales.
Por lo tanto, los discriminantes pares de la clase número 1, fundamentales y no fundamentales (la pregunta original de Gauss) son: