En matemáticas , el discriminante de un campo numérico algebraico es un invariante numérico que, hablando libremente, mide el tamaño del ( anillo de números enteros del) campo numérico algebraico. Más específicamente, es proporcional al volumen al cuadrado del dominio fundamental del anillo de números enteros y regula qué primos se ramifican .
El discriminante es uno de los más invariantes básicos de un campo de número, y se produce en varios importantes analíticas fórmulas tales como la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K , y la fórmula número de clase analítica para K . Un teorema de Hermite establece que solo hay un número finito de campos numéricos de discriminante acotado; sin embargo, determinar esta cantidad sigue siendo un problema abierto y objeto de investigación actual. [1]
El discriminante de K puede denominarse discriminante absoluto de K para distinguirlo del discriminante relativo de una extensión K / L de campos numéricos. Este último es un ideales en el anillo de los enteros de L , y como el discriminante absoluto que indica que los números primos están ramificadas en K / L . Es una generalización del discriminante absoluto que permite que L sea mayor que Q ; de hecho, cuando L = Q , el discriminante relativa de K / Q es el de ideales principales de Z generada por el discriminante absoluto de K .
Definición
Sea K un campo numérico algebraico y sea O K su anillo de números enteros . Sea b 1 , ..., b n una base integral de O K (es decir, una base como un módulo Z ), y sea {σ 1 , ..., σ n } el conjunto de incrustaciones de K en el números complejos (es decir , homomorfismos de anillo inyectivo K → C ). El discriminante de K es el cuadrado del determinante de la matriz B de n por n cuya entrada ( i , j ) es σ i ( b j ). Simbólicamente,
De manera equivalente, se puede usar la traza de K a Q. Específicamente, defina la forma de la traza como la matriz cuya entrada ( i , j ) es Tr K / Q ( b i b j ). Esta matriz es igual a B T B , por lo que el discriminante de K es el determinante de esta matriz.
Ejemplos de
- Campos numéricos cuadráticos : sea d un entero libre de cuadrados , luego el discriminante dees [2]
- Un número entero que aparece como discriminante de un campo numérico cuadrático se denomina discriminante fundamental . [3]
- Campos ciclotómicos : sea n > 2 un número entero, sea ζ n una raíz n- ésima primitiva de la unidad , y sea K n = Q (ζ n ) el n -ésimo campo ciclotómico. El discriminante de K n viene dado por [2] [4]
- dónde es la función totient de Euler , y el producto en el denominador está sobre los primos p dividiendo n .
- Bases de potencia: En el caso en el que el anillo de números enteros tiene una base de integral de potencia , es decir, puede escribirse como O K = Z [α], el discriminante de K es igual al discriminante del polinomio mínimo de α. Para ver esto, se puede elegir que la base integral de O K sea b 1 = 1, b 2 = α, b 3 = α 2 , ..., b n = α n −1 . Entonces, la matriz en la definición es la matriz de Vandermonde asociada a α i = σ i (α), cuyo determinante al cuadrado es
- que es exactamente la definición del discriminante del polinomio mínimo.
- Sea K = Q (α) el campo numérico obtenido al unir una raíz α del polinomio x 3 - x 2 - 2 x - 8. Este es el ejemplo original de Richard Dedekind de un campo numérico cuyo anillo de números enteros no posee una base de poder. Una base integral viene dada por {1, α, α (α + 1) / 2} y el discriminante de K es −503. [5] [6]
- Discriminantes repetidos: el discriminante de un campo cuadrático lo identifica unívocamente, pero esto no es cierto, en general, para campos numéricos de mayor grado . Por ejemplo, hay dos campos cúbicos no isomórficos de discriminante 3969. Se obtienen al unir una raíz del polinomio x 3 - 21 x + 28 o x 3 - 21 x - 35 , respectivamente. [7]
Resultados basicos
- El teorema de Brill : [8] El signo del discriminante es (-1) r 2 donde r 2 es el número de lugares complejos de K . [9]
- Un número primo p se ramifica en K si y sólo si p divide Δ K . [10]
- Teorema de Stickelberger : [11]
- Cota de Minkowski : [12] Sea n el grado de extensión K / Q y r 2 el número de lugares complejos de K , entonces
- Teorema de Minkowski : [13] Si K no es Q , entonces | Δ K | > 1 (esto se sigue directamente del límite de Minkowski).
- Teorema de Hermite-Minkowski : [14] Sea N un número entero positivo. Sólo hay un número finito (hasta isomorfismos) de campos numéricos algebraicos K con | Δ K | < N . Nuevamente, esto se sigue de la unión de Minkowski junto con el teorema de Hermite (que solo hay un número finito de campos numéricos algebraicos con discriminante prescrito).
Historia
La definición del discriminante de un campo numérico algebraico general, K , fue dada por Dedekind en 1871. [15] En este punto, ya conocía la relación entre el discriminante y la ramificación. [dieciséis]
El teorema de Hermite es anterior a la definición general del discriminante con Charles Hermite publicando una prueba de ello en 1857. [17] En 1877, Alexander von Brill determinó el signo del discriminante. [18] Leopold Kronecker declaró por primera vez el teorema de Minkowski en 1882, [19] aunque la primera prueba la dio Hermann Minkowski en 1891. [20] En el mismo año, Minkowski publicó su límite sobre el discriminante. [21] Cerca del final del siglo XIX, Ludwig Stickelberger obtuvo su teorema sobre el residuo del discriminante módulo cuatro. [22] [23]
Discriminante relativo
El discriminante se ha definido anteriormente se refiere a veces como la absoluta discriminante de K para distinguirla de la discriminante relativa Δ K / L de una extensión del número de campos de K / L , que es un ideal en O L . El discriminante relativa se define de una manera similar a la discriminante absoluta, sino que debe tener en cuenta que ideales en O L pueden no ser director y que no pueden ser una O L base de O K . Sea {σ 1 , ..., σ n } el conjunto de incrustaciones de K en C que son la identidad de L . Si b 1 , ..., b n es cualquier base de K sobre L , sea d ( b 1 , ..., b n ) el cuadrado del determinante de la matriz n por n cuyo ( i , j ) - la entrada es σ i ( b j ). Entonces, el discriminante relativa de K / L es el ideal generado por el d ( b 1 , ..., b n ) como { b 1 , ..., b n } varía sobre todas las bases integrales de K / L . (es decir, bases con la propiedad de que b i ∈ O K para todos i ). Alternativamente, el discriminante relativa de K / L es la norma de la diferente de K / L . [24] Cuando L = Q , el discriminante relativa Δ K / Q es el ideal principal de Z generada por el discriminante absoluto Δ K . En una torre de campos K / L / F los discriminantes relativos están relacionados por
dónde denota norma relativa . [25]
Ramificación
El discriminante relativa regula la ramificación de datos de la extensión de campo K / L . Un ideal primo p de L se ramifica en K si, y sólo si, se divide el discriminante relativa Δ K / L . Una extensión no está ramificada si, y solo si, el discriminante es la unidad ideal. [24] El Minkowski obligado anterior muestra que no hay extensiones unramified no triviales de Q . Los campos mayores que Q pueden tener extensiones sin ramificar: por ejemplo, para cualquier campo con un número de clase mayor que uno, su campo de clase de Hilbert es una extensión sin ramificar no trivial.
Discriminante de raíz
El discriminante de raíz de un campo numérico de grado n K se define mediante la fórmula
- [26]
La relación entre discriminantes relativos en una torre de campos muestra que la raíz discriminante no cambia en una extensión no ramificada.
Límites inferiores asintóticos
Dados números racionales no negativos ρ y σ , no ambos 0, y un entero positivo n tal que el par ( r , 2 s ) = ( ρn , σn ) está en Z × 2 Z , sea α n ( ρ , σ ) el mínimo de rd K cuando K varía sobre grados n campos numéricos con r incrustaciones reales y 2 s incrustaciones complejas, y sea α ( ρ , σ ) = liminf n → ∞ α n ( ρ , σ ). Luego
- ,
y la hipótesis de Riemann generalizada implica el límite más fuerte
- [27]
También hay un límite inferior que se mantiene en todos los grados, no solo asintóticamente: para campos totalmente reales, la raíz discriminante es> 14, con 1229 excepciones. [28]
Límites superiores asintóticos
Por otro lado, la existencia de una torre de campo de clase infinita puede dar límites superiores a los valores de α ( ρ , σ ). Por ejemplo, la torre de campo de clase infinita sobre Q ( √ - m ) con m = 3 · 5 · 7 · 11 · 19 produce campos de grado arbitrariamente grande con discriminante de raíz 2 √ m ≈ 296.276, [27] entonces α (0, 1) <296,276. Usando torres dócilmente ramificadas , Hajir y Maire han demostrado que α (1,0) <954.3 y α (0,1) <82.2, [26] mejorando los límites anteriores de Martinet. [27] [29]
Relación con otras cantidades
- Cuando se incrusta en , el volumen del dominio fundamental de O K es(a veces se utiliza una medida diferente y el volumen obtenido es, donde r 2 es el número de lugares complejos de K ).
- Debido a su aparición en este volumen, el discriminante también aparece en la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K , y por tanto en la fórmula analítica del número de clase y el teorema de Brauer-Siegel .
- El discriminante relativa de K / L es el conductor Artin de la representación regular del grupo de Galois de K / L . Esto proporciona una relación con los conductores Artin de los personajes del grupo de Galois de K / L , denominada fórmula conductor-discriminante . [30]
Notas
- ^ Cohen, Diaz y Diaz y Olivier 2002
- ^ a b Manin, Yu. Yo ; Panchishkin, AA (2007), Introducción a la teoría moderna de números , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, 49 (Segunda ed.), P. 130, ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN 0938-0396 , Zbl 1079.11002
- ^ Definición 5.1.2 de Cohen 1993
- ^ Proposición 2.7 de Washington 1997
- ^ Dedekind 1878 , págs. 30–31
- ^ Narkiewicz 2004 , p. 64
- ^ Cohen 1993 , Teorema 6.4.6
- ^ Koch 1997 , p. 11
- ^ Lema 2.2 de Washington 1997
- ^ Corolario III.2.12 de Neukirch 1999
- ^ Ejercicio I.2.7 de Neukirch 1999
- ^ Proposición III.2.14 de Neukirch 1999
- ^ Teorema III.2.17 de Neukirch 1999
- ^ Teorema III.2.16 de Neukirch 1999
- ^ Un b de Dedekind suplemento X de la segunda edición de Peter Gustav Lejeune Dirichlet 's Vorlesungen über Zahlentheorie ( Dedekind 1871 )
- ^ Bourbaki, 1994
- ^ Hermite 1857 .
- ^ Brill 1877 .
- ^ Kronecker 1882 .
- ^ Minkowski 1891a .
- ^ Minkowski 1891b .
- ^ Stickelberger 1897 .
- ^ Todos los hechos de este párrafo se pueden encontrar en Narkiewicz 2004 , págs. 59, 81
- ↑ a b Neukirch 1999 , §III.2
- ^ Corolario III.2.10 de Neukirch 1999 o Proposición III.2.15 de Fröhlich & Taylor 1993
- ^ a b Hajir, Farshid; Maire, Christian (2002). "Torres dócilmente ramificadas y límites discriminantes para campos numéricos. II" . J. Computación simbólica. 33 : 415–423. doi : 10.1023 / A: 1017537415688 .
- ↑ a b c Koch , 1997 , págs. 181–182.
- ^ Voight 2008
- ^ Martinet, Jacques (1978). "Tours de corps de classes et estimations de discriminants". Inventiones Mathematicae (en francés). 44 : 65–73. Código Bibliográfico : 1978InMat..44 ... 65M . doi : 10.1007 / bf01389902 . Zbl 0369.12007 .
- ^ Sección 4.4 de Serre 1967
Referencias
Fuentes primarias
- Brill, Alexander von (1877), "Über die Discriminante" , Mathematischen Annalen , 12 (1): 87-89, doi : 10.1007 / BF01442468 , JFM 09.0059.02 , MR 1.509.928 , recuperada 2009-08-22
- Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg , consultado el 5 de agosto de 2009
- Dedekind, Richard (1878), "Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen" , Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften Königlichen zu Gotinga , 23 (1) , recuperada 2009-08-20
- Hermite, Charles (1857), "Extrait d'une lettre de MC Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés" , Diario de Crelle , 1857 (53): 182-192, doi : 10.1515 / crll.1857.53.182 , recuperado 2009-08-20
- Kronecker, Leopold (1882), "Grundzüge einer Theorie der arithmetischen algebraischen Grössen" , Diario de Crelle , 92 : 1-122, JFM 14.0038.02 , recuperada 2009-08-20
- Minkowski, Hermann (1891a), "Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen" , Crelle's Journal , 1891 (107): 278-297, doi : 10.1515 / crll.1891.107.278 , JFM 23.0212.01 , consultado 2009-08 -20
- Minkowski, Hermann (1891b), "Théorèmes d'arithmétiques", Comptes rendus de l'Académie des sciences , 112 : 209–212, JFM 23.0214.01
- Stickelberger, Ludwig (1897), "Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper", Actas del Primer Congreso Internacional de Matemáticos, Zúrich , págs. 182-193, JFM 29.0172.03
Fuentes secundarias
- Bourbaki, Nicolas (1994). Elementos de la historia de las matemáticas . Traducido por Meldrum, John. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. Señor 1290116 .
- Cohen, Henri (1993), Un curso de teoría de números algebraicos computacionales , Textos de posgrado en matemáticas, 138 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4, MR 1228206
- Cohen, Henri ; Díaz y Díaz, Francisco; Olivier, Michel (2002), "Una encuesta de conteo discriminante", en Fieker, Claus; Kohel, David R. (eds.), Teoría algorítmica de números, Actas, 5th International Syposium, ANTS-V, Universidad de Sydney, julio de 2002 , Lecture Notes in Computer Science, 2369 , Berlín: Springer-Verlag, págs. 80-94 , doi : 10.1007 / 3-540-45455-1_7 , ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN 0302-9743 , MR 2041075
- Fröhlich, Albrecht ; Taylor, Martin (1993), teoría de números algebraica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6, MR 1215934
- Koch, Helmut (1997), Teoría algebraica de números , Encycl. Matemáticas. Sci., 62 (2ª edición de la 1ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 3-540-63003-1, Zbl 0819.11044
- Narkiewicz, Władysław (2004), Teoría elemental y analítica de números algebraicos , Springer Monographs in Mathematics (3 ed.), Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
- Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Serre, Jean-Pierre (1967), "Teoría del campo de clase local", en Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.), Teoría algebraica de números, Actas de una conferencia educativa en la Universidad de Sussex, Brighton, 1965 , Londres: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR 0220701
- Voight, John (2008), "Enumeración de campos numéricos totalmente reales de discriminante de raíz acotada", en van der Poorten, Alfred J .; Stein, Andreas (eds.), Teoría algorítmica de números. Actas, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Canadá, mayo de 2008 , Lecture Notes in Computer Science, 5011 , Berlín: Springer-Verlag, págs. 268-281, arXiv : 0802.0194 , doi : 10.1007 / 978-3-540 -79456-1_18 , ISBN 978-3-540-79455-4, MR 2467853 , Zbl 1205.11125
- Washington, Lawrence (1997), Introducción a los campos ciclotómicos , Textos de posgrado en matemáticas, 83 (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, MR 1421575 , Zbl 0.966,11047
Otras lecturas
- Milne, James S. (1998), Teoría algebraica de números , consultado el 20 de agosto de 2008