En topología , una rama de las matemáticas, la construcción de agarre es una forma de construir haces de fibras, particularmente haces de vectores en esferas.
Definición
Considere la esfera como la unión de los hemisferios superior e inferior y a lo largo de su intersección, el ecuador, un .
Dados haces de fibras trivializados con fibra y grupo de estructura sobre los dos hemisferios, luego se le dio un mapa (llamado mapa de agarre ), pegue los dos paquetes triviales mediante f .
Formalmente, es el coequalizador de las inclusiones. vía y : pegue los dos paquetes juntos en el límite, con un giro.
Así tenemos un mapa : agarrar información sobre el ecuador produce un haz de fibras en el espacio total.
En el caso de los paquetes de vectores, esto produce , y de hecho este mapa es un isomorfismo (debajo de conectar suma de esferas a la derecha).
Generalización
Lo anterior se puede generalizar reemplazando y con cualquier tríada cerrada , Es decir, un espacio X , junto con dos subconjuntos cerrados A y B cuya unión es X . Luego, un mapa de agarre enda un haz de vector en X .
Clasificación de la construcción de mapas
Dejar ser un haz de fibras con fibra . Dejar ser una colección de pares tal que es una trivialización local de encima . Además, exigimos que la unión de todos los conjuntos es (es decir, la colección es un atlas de trivializaciones ).
Considere el espacio módulo la relación de equivalencia es equivalente a si y solo si y . Por diseño, las trivializaciones locales dar una equivalencia de fibras entre este espacio de cociente y el haz de fibras .
Considere el espacio módulo la relación de equivalencia es equivalente a si y solo si y considerar ser un mapa entonces exigimos que . Es decir, en nuestra reconstrucción de estamos reemplazando la fibra por el grupo topológico de homeomorfismos de la fibra, . Si se sabe que el grupo de estructura del paquete se reduce, puede reemplazarcon el grupo de estructura reducida. Esto es un paquete sobre con fibra y es un paquete principal. Denotarlo por. La relación con el paquete anterior se induce a partir del paquete principal:.
Entonces tenemos un paquete principal . La teoría de la clasificación de espacios nos da una fibración de empuje hacia adelante inducida dónde es el espacio clasificador de . Aquí hay un esquema:
Dado un -paquete principal , considera el espacio . Este espacio es una fibración de dos formas distintas:
1) Proyecte sobre el primer factor: . La fibra en este caso es, que es un espacio contráctil por la definición de un espacio clasificador.
2) Proyecte sobre el segundo factor: . La fibra en este caso es.
Así tenemos una fibración . Este mapa se llama mapa de clasificación del haz de fibras. ya que 1) el paquete principal es la retirada del paquete a lo largo del mapa de clasificación y 2) El paquete se induce a partir del haz principal como se indicó anteriormente.
Contraste con esferas retorcidas
Las esferas retorcidas se denominan a veces una construcción de "tipo de agarre", pero esto es engañoso: la construcción de agarre se refiere propiamente a haces de fibras.
- En esferas retorcidas, pegas dos mitades a lo largo de su límite. Las mitades se identifican a priori (con la bola estándar ), y los puntos de la esfera límite no van en general a sus puntos correspondientes en la otra esfera límite. Esto es un mapa: el encolado no es baladí en la base.
- En la construcción de agarre, pegas dos paquetes juntos sobre el límite de sus hemisferios de base. Las esferas delimitadoras se pegan entre sí mediante la identificación estándar: cada punto va al correspondiente, pero cada fibra tiene una torsión. Esto es un mapa: el encolado es trivial en la base, pero no en las fibras.
Ejemplos de
La construcción de agarre se utiliza para formar la anomalía quiral , pegando un par de formas de curvatura auto-dual. Tales formas son localmente exactas en cada hemisferio, ya que son diferenciales de la forma 3 de Chern-Simons ; Al pegarlos juntos, la forma de curvatura ya no es globalmente exacta (y también lo tiene un grupo de homotopía no trivial)
Se pueden encontrar construcciones similares para varios instantes , incluido el modelo de Wess-Zumino-Witten .
Ver también
Referencias
- El libro en progreso de Allen Hatcher Vector Bundles & K-Theory versión 2.0, p. 22.