Álgebra de Colombeau

En matemáticas , un álgebra de Colombeau es un álgebra de cierto tipo que contiene el espacio de distribuciones de Schwartz . Mientras que en la teoría de la distribución clásica no es posible una multiplicación general de distribuciones, las álgebras de Colombeau proporcionan un marco riguroso para esto.

Se ha creído durante mucho tiempo que tal multiplicación de distribuciones era imposible debido al resultado de imposibilidad de L. Schwartz, que básicamente establece que no puede haber un álgebra diferencial que contenga el espacio de distribuciones y preserve el producto de funciones continuas. Sin embargo, si uno solo quiere preservar el producto de funciones suaves, tal construcción se vuelve posible, como lo demostró primero Colombeau.

Como herramienta matemática, se puede decir que las álgebras de Colombeau combinan un tratamiento de singularidades, diferenciación y operaciones no lineales en un marco, eliminando las limitaciones de la teoría de la distribución. Estas álgebras han encontrado numerosas aplicaciones en los campos de ecuaciones diferenciales parciales, geofísica, análisis microlocal y relatividad general hasta ahora.

Al intentar incrustar el espacio de distribuciones en un álgebra asociativa , los siguientes requisitos parecen ser naturales: ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle (A (\ mathbb {R}), \ circ, +)}$

Sin embargo, el resultado de L. Schwartz ^[1] implica que estos requisitos no pueden cumplirse simultáneamente. Lo mismo es cierto incluso si, en 4., uno reemplaza por , el espacio de tiempos funciones continuamente diferenciables. Si bien este resultado a menudo se ha interpretado en el sentido de que no es posible una multiplicación general de distribuciones, de hecho solo establece que no se puede combinar sin restricciones la diferenciación, la multiplicación de funciones continuas y la presencia de objetos singulares como el delta de Dirac. ${\ Displaystyle C (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle C ^ {k} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle k}$

Las álgebras de Colombeau se construyen para satisfacer las condiciones 1. – 3. y una condición como 4., pero reemplazada por , es decir, conservan el producto de funciones suaves (infinitamente diferenciables) únicamente. ${\ Displaystyle C (\ mathbb {R}) \ times C (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}) \ times C ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$