Distribución (matemáticas)

Mathematical analysis term similar to generalized function

Este artículo trata sobre funciones generalizadas en análisis matemático. Para conocer el concepto de distribuciones en la teoría de la probabilidad, consulte Distribución de probabilidad . Para paisajes artificiales, consulte Funciones de prueba para optimización . Para otros usos, consulte Distribución § Matemáticas .

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Las distribuciones , también conocidas como distribuciones de Schwartz o funciones generalizadas , son objetos que generalizan la noción clásica de funciones en el análisis matemático . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función integrable localmente tiene una derivada distributiva. Las distribuciones se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , donde puede ser más fácil establecer la existencia de soluciones distributivas que las soluciones clásicas, o puede que no existan soluciones clásicas apropiadas. Las distribuciones también son importantes en física yingeniería donde muchos problemas conducen naturalmente a ecuaciones diferenciales cuyas soluciones o condiciones iniciales son distribuciones, como la función delta de Dirac .

Normalmente se piensa que una función actúa sobre los puntos en su dominio "enviando" un punto x en su dominio al punto. En lugar de actuar sobre puntos, la teoría de la distribución reinterpreta funciones como actuar sobre funciones de prueba de cierta manera. Las funciones de prueba suelen ser funciones infinitamente diferenciables de valor complejo (o, a veces, de valor real ) con soporte compacto ( funciones de golpe${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle f}$ son ejemplos de funciones de prueba). Muchas "funciones estándar" (es decir, por ejemplo, una función que se encuentra típicamente en un curso de Cálculo ), digamos que, por ejemplo, un mapa continuo puede reinterpretarse canónicamente como que actúa sobre funciones de prueba (en lugar de su interpretación habitual como actuar sobre puntos de su dominio) a través de la acción conocida como " integración contra una función de prueba"; explícitamente, esto significa que "actúa sobre" una función de prueba g "enviando" g al número. Esta nueva acción de es, por tanto, un mapa complejo (o real) valorado , denotado por cuyo dominio es el espacio${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} }fg\,dx.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{f},}$de funciones de prueba; este mapa resulta tener dos propiedades adicionales ^{[nota 1]} que lo convierten en lo que se conoce como una distribución en${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Distribuciones que surgen de "funciones estándar" de esta manera son los ejemplos prototípicos de distribuciones. Pero hay muchas distribuciones que no surgen de esta forma y estas distribuciones se conocen como "funciones generalizadas". Los ejemplos incluyen la función delta de Dirac o algunas distribuciones que surgen a través de la acción de "integración de funciones de prueba contra medidas ". Sin embargo, mediante el uso de varios métodos, aún es posible reducir cualquier distribución arbitraria a una familia más simple.de distribuciones relacionadas que surgen a través de tales acciones de integración.

En aplicaciones a la física y la ingeniería, el espacio de funciones de prueba generalmente consiste en funciones suaves con soporte compacto que se definen en algún subconjunto abierto no vacío dado Este espacio de funciones de prueba se denota por o y una distribución en U es, por definición, lineal. funcional en la que es continua cuando se da una topología llamada la topología LF canónica . Esto conduce a la espacio de distribuciones (todos) en U , generalmente denotados por (tenga en cuenta el primer ), que por definición es la${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$espacio de todas las distribuciones en (es decir, es el espacio dual continuo de ); estas distribuciones son el foco principal de este artículo. ${\displaystyle U}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Hay otras opciones posibles para el espacio de funciones de prueba, que conducen a otros espacios diferentes de distribuciones. Si entonces el uso de funciones de Schwartz ^{[nota 2]} como funciones de prueba da lugar a un cierto subespacio cuyos elementos se denominan distribuciones templadas . Estos son importantes porque permiten que la transformada de Fourier se extienda de "funciones estándar" a distribuciones templadas. El conjunto de distribuciones templadas forma un subespacio vectorial del espacio de distribuciones y, por tanto, es un ejemplo de un espacio de distribuciones; hay muchos otros espacios de distribuciones.${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

También existen otras clases principales de funciones de prueba que no son subconjuntos de espacios de funciones de prueba analíticas , que producen clases de distribuciones muy diferentes. La teoría de tales distribuciones tiene un carácter diferente a la anterior porque no existen funciones analíticas con soporte compacto no vacío. ^{[nota 3] El} uso de funciones de prueba analíticas conduce a la teoría de las hiperfunciones de Sato . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$

Historia

El uso práctico de distribuciones se remonta al uso de funciones de Green en la década de 1830 para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, pero no se formalizó hasta mucho más tarde. Según Kolmogorov y Fomin (1957) , las funciones generalizadas se originaron en el trabajo de Sergei Sobolev  ( 1936 ) sobre ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas de segundo orden, y las ideas fueron desarrolladas en forma algo extendida por Laurent Schwartz a fines de la década de 1940. Según su autobiografía, Schwartz introdujo el término "distribución" por analogía con una distribución de carga eléctrica, posiblemente incluyendo no sólo cargas puntuales sino también dipolos, etc. Gårding (1997)comenta que aunque las ideas del libro transformador de Schwartz (1951) no eran del todo nuevas, fue el amplio ataque y la convicción de Schwartz de que las distribuciones serían útiles en casi todas partes en el análisis lo que marcó la diferencia.

Notación

Se utilizará la siguiente notación a lo largo de este artículo:

• ${\displaystyle n}$es un entero positivo fijo y es un subconjunto abierto fijo no vacío del espacio euclidiano${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

• ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$denota los números naturales .

• ${\displaystyle k}$ denotará un número entero no negativo o ${\displaystyle \infty .}$

• Si es una función, entonces denotará su dominio y el soporte de denotado por se define como el cierre del conjunto en${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$${\displaystyle \{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (f).}$

• Para dos funciones , la siguiente notación define un emparejamiento canónico :${\displaystyle f,g:U\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}$

• Un índice múltiple de tamaño es un elemento de (dado que es fijo, si se omite el tamaño de los índices múltiples, se debe suponer que el tamaño es ). La longitud de un multi-índice se define y denota por Multi-índices que son particularmente útiles cuando se trata de funciones de varias variables, en particular introducimos las siguientes notaciones para un multi-índice dado :${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle |\alpha |.}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}$

También introducimos un orden parcial de todos los índices múltiples por si y solo si para todos Cuando definimos su coeficiente binomial de índices múltiples como:${\displaystyle \beta \geq \alpha }$${\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$

${\displaystyle {\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.}$

• ${\displaystyle \mathbb {K} }$denotará una cierta colección no vacía de subconjuntos compactos de (descrito en detalle a continuación).${\displaystyle U}$

Definiciones de funciones de prueba y distribuciones

En esta sección, vamos a definir formalmente las distribuciones de valores reales-en T . Con modificaciones menores, también se pueden definir distribuciones de valores complejos y se pueden reemplazar con cualquier colector liso ( paracompacto ) . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Notación : Suponga${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$

1. Vamos a denotar el espacio vectorial de todos los k -los tiempos continuamente diferenciables funciones de valores reales-en T .${\displaystyle C^{k}(U)}$
2. Para cualquier subconjunto compacto let y ambos denotan el espacio vectorial de todas las funciones de tal manera que${\displaystyle K\subseteq U,}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K.}$
   • Tenga en cuenta que depende tanto de K y T , pero sólo indicaremos K , donde, en particular, si entonces el dominio de es T en lugar de K . Usaremos la notación solo cuando la notación corra el riesgo de ser ambigua.${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle C^{k}(K)}$
   • Claramente, cada contiene el mapa constante 0 , incluso si${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle K=\varnothing .}$

1. Vamos a denotar el conjunto de todos de tal manera que por algún subconjunto compacto K de U .${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$
   • De manera equivalente, es el conjunto de todos los que tiene soporte compacto.${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$${\displaystyle f}$
   • ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$es igual a la unión de todos como rangos sobre${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$
   • Si es una función de valor real en U , entonces es un elemento de si y solo si es una función de respuesta . Cada función de prueba de valor real en es siempre también una función de prueba de valor complejo en${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$

El gráfico de la función bump donde y Esta función es una función de prueba en y es un elemento de El soporte de esta función es el disco de la unidad cerrada en No es cero en el disco de la unidad abierta y es igual a 0 en todas partes fuera de eso.${\displaystyle (x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$${\displaystyle r=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Tenga en cuenta que para todos los subconjuntos compactos K y L de U , tenemos:${\displaystyle j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}}$

Definición : Los elementos de los llamados funciones de prueba en U y se llama el espacio de la función de prueba de U . Usaremos ambos y para denotar este espacio.${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Distribuciones en U se definen como los funcionales lineales continuas en cuando este espacio vectorial está dotado de una topología particular llamado la canónica LF-topología . Desafortunadamente, esta topología no es fácil de definir, pero aún es posible caracterizar las distribuciones de manera que no se haga mención de la topología LF canónica. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Proposición : Si T es un funcional lineal en, entonces T es una distribución si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones equivalentes:${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. Para cada subconjunto compacto existen constantes y tales que para todos ^[1]${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$

   ${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};}$

2. Para cada subconjunto compacto existen constantes y tales que para todos con soporte contenido en ^[2]${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle C_{K}>0}$${\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle K,}$

   ${\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};}$

3. Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en if converge uniformemente a cero para todos los índices múltiples , entonces${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C^{\infty }(K),}$${\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle T(f_{i})\to 0.}$

Las caracterizaciones anteriores se pueden usar para determinar si un funcional lineal es una distribución, pero los usos más avanzados de distribuciones y funciones de prueba (como aplicaciones a ecuaciones diferenciales ) son limitados si no se colocan topologías y Para definir el espacio de distribuciones Primero debemos definir la topología LF canónica, que a su vez requiere que se definan primero varios otros espacios vectoriales topológicos localmente convexos (TVS). Primero, se definirá una topología ( no normable ) en , luego cada uno estará dotado de la topología subespacial inducida en él por y finalmente el ( no metrizable${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(K)}$${\displaystyle C^{\infty }(U),}$) se definirá la topología LF canónica . El espacio de distribuciones, que se define como el espacio dual continuo de, está dotado con la topología dual fuerte (no metrizable) inducida por y la topología LF canónica (esta topología es una generalización de la topología inducida por la norma del operador habitual que se coloca sobre los espacios duales continuos de los espacios normativos ). Esto finalmente permite considerar nociones más avanzadas como la convergencia de distribuciones (tanto secuencias como redes), varios (sub) espacios de distribuciones y operaciones sobre distribuciones, incluida la extensión de ecuaciones diferenciales a distribuciones. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Elección de conjuntos compactos ${\displaystyle \mathbb {K} }$

A lo largo, habrá una colección de subconjuntos compactos de los que (1) y (2) para cualquier compacto existen algunos tales que Las opciones más comunes para son:${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle U=\bigcup _{K\in \mathbb {K} }K,}$${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle K_{2}\in \mathbb {K} }$${\displaystyle K\subseteq K_{2}.}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

• El conjunto de todos los subconjuntos compactos de o${\displaystyle U,}$
• Un conjunto donde y para todo i , y es un subconjunto abierto no vacío relativamente compacto de (aquí, "relativamente compacto" significa que el cierre de en U o es compacto).${\displaystyle \left\{{\overline {U_{1}}},{\overline {U_{2}}},\ldots \right\}}$${\displaystyle U=\cup _{i=1}^{\infty }U_{i},}$${\displaystyle {\overline {U_{i}}}\subseteq U_{i+1}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{i},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Lo convertimos en un conjunto dirigido definiendo si y solo si Tenga en cuenta que aunque las definiciones de las topologías definidas posteriormente hacen referencia explícita en la realidad, no dependen de la elección de , es decir, si y son dos colecciones de subconjuntos compactos de entonces el topologías definidas en y usando en lugar de son las mismas que las definidas usando en lugar de${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle K_{1}\leq K_{2}}$${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}.}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} ;}$${\displaystyle \mathbb {K} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {K} _{2}}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle \mathbb {K} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Topología en C ^k (U)

A continuación, presentamos las seminormas que definirán la topología de. Los diferentes autores a veces usan diferentes familias de seminormas, por lo que enumeramos las familias más comunes a continuación. Sin embargo, la topología resultante es la misma independientemente de la familia que se utilice. ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Suponga que y es un subconjunto compacto arbitrario de Suponga un número entero tal que ^{[nota 4]} y es un índice múltiple con longitud Para definir:${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 0\leq i\leq k.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |p|\leq k.}$${\displaystyle K\neq \varnothing ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{p,K}(f)&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]q_{i,K}(f)&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]r_{i,K}(f)&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]t_{i,K}(f)&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{aligned}}}$

mientras que para definimos todas las funciones anteriores como el mapa constante 0 .${\displaystyle K=\varnothing }$

Cada una de las funciones anteriores son no negativo -valued ^{[nota 5]} seminormas en${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Cada una de las siguientes familias de seminormas genera la misma topología vectorial convexa localmente en :${\displaystyle C^{k}(U)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(1)\quad &\{q_{i,K}&&:\;K\in \mathbb {K} {\text{ and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\(2)\quad &\{r_{i,K}&&:\;K\in \mathbb {K} {\text{ and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\(3)\quad &\{t_{i,K}&&:\;K\in \mathbb {K} {\text{ and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\(4)\quad &\{s_{p,K}&&:\;K\in \mathbb {K} {\text{ and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}}$

Supuesto : De ahora en adelante asumiremos que está dotado de la topología convexa local definida por cualquiera (o equivalentemente, todas) de las familias de seminormas descritas anteriormente.${\displaystyle C^{k}(U)}$

Con esta topología, se convierte en un espacio de Fréchet localmente convexo ( no regulable ) y todas las seminormas definidas anteriormente son continuas en este espacio. Todas las seminormas definidas anteriormente son funciones continuas en Bajo esta topología, una red en converge a si y solo si para cada índice múltiple con y cada red de derivadas parciales converge uniformemente a en ^[3] Para cualquiera (von Neumann) subconjunto acotado de es un subconjunto relativamente compacto de ^[4]${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |p|<k+1}$${\displaystyle K\in \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \partial ^{p}f}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},}$${\displaystyle C^{k+1}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U).}$En particular, un subconjunto de está acotado si y solo si está acotado para todos ^[4] El espacio es un espacio de Montel si y solo si ^[5]${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{i}(U)}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle k=\infty .}$

La topología activada es el límite superior de las topologías subespaciales inducidas por los TVS cuando i se extiende sobre los enteros no negativos. ^[3] Un subconjunto de está abierto en esta topología si y solo si existe tal que está abierto cuando está dotado de la topología subespacial inducida en él por${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{i}(U)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{i}(U).}$

Métrica que define la topología

Si la familia de conjuntos compactos satisface y para todos, entonces se puede obtener una métrica invariante de traducción completa tomando una combinación de Fréchet contable adecuada de cualquiera de las familias anteriores. Por ejemplo, el uso de seminormas da como resultado la métrica ${\displaystyle \mathbb {K} =\left\{{\overline {U_{1}}},{\overline {U_{2}}},\ldots \right\}}$${\displaystyle U=\bigcup _{j=1}^{\infty }U_{j}}$${\displaystyle {\overline {U_{i}}}\subseteq U_{i+1}}$${\displaystyle i,}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle \left(r_{i,K_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }}$

${\displaystyle d(f,g):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {r_{i,{\overline {U_{i}}}}(f-g)}{1+r_{i,{\overline {U_{i}}}}(f-g)}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U_{i}}}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|}{\left[1+\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U_{i}}}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|\right]}}.}$

A menudo, es más fácil considerar seminarios.

Topología en C ^k (K)

Como antes, arregle Recuerde que si es un subconjunto compacto de entonces${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).}$

Supuesto : Para cualquier subconjunto compacto K ⊆ U , de ahora en adelante asumiremos que está dotado de la topología subespacial que hereda del espacio de Fréchet.${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Porque cualquier subconjunto compacto es un subespacio cerrado del espacio Fréchet y, por lo tanto, también es un espacio Fréchet . Para todos los compactos satisfactorios, denote el mapa de inclusión por. Entonces este mapa es una incrustación lineal de TVS (es decir, es un mapa lineal que también es una incrustación topológica ) cuya imagen (o "rango") está cerrada en su codominio ; Dicho de otra manera, la topología de es idéntica a la topología del subespacio de la que hereda y también es un subconjunto cerrado de El interior de relativo a está vacío. ^[6]${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle K,L\subseteq U}$${\displaystyle K\subseteq L,}$${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L).}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(L),}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(L).}$${\displaystyle C^{\infty }(K)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

Si es finito entonces es un espacio de Banach ^[7] con una topología que puede ser definida por la norma${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k}(K)}$

${\displaystyle r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).}$

Y cuando entonces es incluso un espacio de Hilbert . ^[7] El espacio es un distinguido Schwartz espacio Montel así que si entonces es no normable y por lo tanto no un espacio de Banach (aunque como todos los demás , es un espacio de Fréchet ).${\displaystyle k=2,}$${\displaystyle \,C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)\neq \{0\}}$ ${\displaystyle C^{k}(K),}$

Extensiones triviales e independencia de la topología de C ^k ( K ) de U

La definición de depende de U, así que denotaremos el espacio topológico que por definición es un subespacio topológico de Supongamos que es un subconjunto abierto de que contiene Dada su extensión trivial a V es por definición, la función definida por:${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle C^{k}(K),}$${\displaystyle C^{k}(U).}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U),}$${\displaystyle F:V\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

de manera que Let denotan el mapa que envía una función en su extensión trivial en V . Este mapa es una inyección lineal y para cada subconjunto compacto que tenemos, dónde está el subespacio vectorial de mapas con soporte contenido en (ya que también es un subconjunto compacto de ). De ello se deduce que si I está restringido a, entonces el siguiente mapa lineal inducido es un homeomorfismo (y, por lo tanto, un isomorfismo TVS):${\displaystyle F\in C^{k}(V).}$${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle K\subseteq U,}$${\displaystyle I\left(C^{k}(K;U)\right)=C^{k}(K;V),}$${\displaystyle C^{k}(K;V)}$${\displaystyle C^{k}(V)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subseteq U\subseteq V,}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle V}$${\displaystyle I\left(C_{c}^{k}(U)\right)\subseteq C_{c}^{k}(V).}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$

${\displaystyle C^{k}(K;U)\to C^{k}(K;V)}$

y, por lo tanto, los dos mapas siguientes (que, al igual que el mapa anterior, están definidos por ) son incrustaciones topológicas : ${\displaystyle f\mapsto I(f)}$

${\displaystyle C^{k}(K;U)\to C^{k}(V),}$

${\displaystyle C^{k}(K;U)\to C_{c}^{k}(V),}$

(la topología es la topología LF canónica, que se define más adelante). Usando nos identificamos con su imagen en Porque a través de esta identificación, también se puede considerar como un subconjunto de Es importante destacar que la topología del subespacio hereda (cuando se ve como un subconjunto de ) es idéntica a la topología del subespacio de la que hereda (cuando es visto en cambio como un subconjunto de a través de la identificación). Así, la topología en es independiente del subconjunto abierto U de la que contiene K . ^[6] Esto justifica la práctica de escribir en lugar de${\displaystyle C_{c}^{k}(V)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)\ni f\mapsto I(f)\in C_{c}^{k}(V)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).}$${\displaystyle C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle C^{k}(V).}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(V)}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle C^{k}(V)}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K;U).}$

Topología canónica LF

Ver también: LF-space y Topología de convergencia uniforme

Recordemos que denotan todas aquellas funciones en las que tienen soporte compacto en donde se nota que es la unión de todas a medida que K se extiende por encima. Además, para cada k , es un subconjunto denso de El caso especial cuando nos da el espacio de funciones de prueba.${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U).}$${\displaystyle k=\infty }$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$se llama el espacio de funciones de prueba en${\displaystyle U}$ y también se puede denotar por${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

Esta sección define la topología LF canónica como un límite directo . También es posible definir esta topología en términos de sus vecindades del origen, que se describe a continuación.

Topología definida por límites directos

Para dos conjuntos cualesquiera K y L , declaramos que si y solo si lo que en particular convierte la colección de subconjuntos compactos de U en un conjunto dirigido (decimos que tal colección está dirigida por inclusión de subconjuntos ). Para todos los compactos satisfactorios hay mapas de inclusión.${\displaystyle K\leq L}$${\displaystyle K\subseteq L,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle K,L\subseteq U}$${\displaystyle K\subseteq L,}$

${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)\quad {\text{and}}\quad \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U).}$

Recuerde desde arriba que el mapa es una incrustación topológica . La colección de mapas${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)}$

${\displaystyle \left\{\operatorname {In} _{K}^{L}\;:\;K,L\in \mathbb {K} \;{\text{ and }}\;K\subseteq L\right\}}$

forma un sistema directo en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos que está dirigido por (bajo inclusión de subconjuntos). El límite directo de este sistema (en la categoría de TVS localmente convexos) es el par donde están las inclusiones naturales y donde ahora está dotado de la topología localmente convexa más fuerte (única), lo que hace que todos los mapas de inclusión sean continuos.${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle (C_{c}^{k}(U),\operatorname {In} _{\bullet }^{U})}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\bullet }^{U}:=\left(\operatorname {In} _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\bullet }^{U}=\left(\operatorname {In} _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }}$

La topología LF canónica en${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ es la más fina localmente convexa topología en hacer que todos los mapas de la inclusión continua (donde K se extiende sobre ).${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

Supuesto : Como es común en la literatura matemática, este artículo asumirá de ahora en adelante que está dotado de su topología LF canónica (a menos que se indique explícitamente lo contrario).${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$

Topología definida por vecindarios del origen

Si U es un subconjunto convexo de entonces U es una vecindad del origen en la topología LF canónica si y solo si satisface la siguiente condición:${\displaystyle C_{c}^{k}(U),}$

Para todos es un barrio del origen en${\displaystyle K\in \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle U\cap C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K).}$

( CN )

Observe que cualquier conjunto convexo que satisface esta condición es necesariamente absorbiendo en Desde la topología de cualquier espacio vectorial topológico es invariante por traslación, cualquier TVS-topología está completamente determinado por el conjunto de entorno del origen. Esto significa que uno podría realmente definir la topología LF canónica declarando que un subconjunto U balanceado convexo es una vecindad del origen si y solo si satisface la condición CN . ${\displaystyle C_{c}^{k}(U).}$

Topología definida mediante operadores diferenciales

Un operador diferencial lineal en U con coeficientes suaves es una suma

${\displaystyle P:=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }}$

donde y todos, excepto un número finito de, son idénticamente 0 . El número entero se llama orden del operador diferencial. Si es un operador diferencial lineal de orden k, entonces induce un mapa lineal canónico definido por donde reutilizaremos la notación y también denotaremos este mapa por ^[8]${\displaystyle c_{\alpha }\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle \sup\{|\alpha |:c_{\alpha }\neq 0\}}$${\displaystyle P.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C^{k}(U)\to C^{0}(U)}$${\displaystyle \phi \mapsto P\phi ,}$${\displaystyle P.}$

Para cualquier, la topología LF canónica activa es la topología TVS localmente convexa más débil, lo que convierte a todos los operadores diferenciales lineales en U de orden en mapas continuos desde hacia ^[8]${\displaystyle 1\leq k\leq \infty ,}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle \,<k+1}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{0}(U).}$

Propiedades de la topología LF canónica

La independencia de la topología LF canónica de ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Un beneficio de definir la topología LF canónica como el límite directo de un sistema directo es que podemos usar inmediatamente la propiedad universal de los límites directos. Otro beneficio es que podemos usar resultados bien conocidos de la teoría de categorías para deducir que la topología LF canónica es realmente independiente de la elección particular de la colección dirigida de conjuntos compactos. Y al considerar diferentes colecciones (en particular, las mencionadas al principio de este artículo), podemos deducir diferentes propiedades de esta topología. En particular, podemos deducir que la topología LF canónica convierte en un espacio LF estricto localmente convexo de Hausdorff (y también un${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ estricto espacio LB si ), que por supuesto es la razón por la que esta topología se llama "la topología LF canónica" (consulte esta nota al pie para obtener más detalles). ^{[nota 6]}${\displaystyle k\neq \infty }$

Propiedad universal

De la propiedad universal de los límites directos , sabemos que si es un mapa lineal en un espacio localmente convexo Y (no necesariamente de Hausdorff), entonces u es continuo si y solo si u está acotado si y solo si para cada la restricción de u a es continuo (o acotado). ^{[9] [10]}${\displaystyle u:C_{c}^{k}(U)\to Y}$${\displaystyle K\in \mathbb {K} ,}$${\displaystyle C^{k}(K)}$

Dependencia de la topología LF canónica en U

Supongamos que V es un subconjunto abierto de que contiene Let denotan el mapa que envía una función en su extensión trivial en V (que se definió anteriormente). Este mapa es un mapa lineal continuo. ^[11] Si (y solo si) entonces no es un subconjunto denso y no es una incrustación topológica . ^[11] En consecuencia, si la transposición de no es ni uno a uno ni sobre. ^[11]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C_{c}^{k}(V)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle U\neq V}$${\displaystyle I(C_{c}^{\infty }(U))}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(V)}$${\displaystyle I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)}$${\displaystyle U\neq V}$${\displaystyle I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)}$

Subconjuntos acotados

Un subconjunto B de está delimitada en si y sólo si existe algún tal que y B es un subconjunto acotado de ^[10] Por otra parte, si es compacto y entonces S está delimitada en si y sólo si está delimitada en Para cualquier cualquier acotado subconjunto de (resp. ) es un subconjunto relativamente compacto de (resp. ), donde ^[10]${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle K\in \mathbb {K} }$${\displaystyle B\subseteq C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K).}$${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle S\subseteq C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(U).}$${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$${\displaystyle C_{c}^{k+1}(U)}$${\displaystyle C^{k+1}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle \infty +1=\infty .}$

No metrizabilidad

Para todo compacto el interior de en está vacío por lo que es de primera categoría en sí mismo. Se deduce del teorema de Baire que no es metrizable y, por lo tanto, tampoco normable (ver esta nota al pie ^{[nota 7]} para una explicación de cómo el espacio no metrizable puede ser completo aunque no admita una métrica). El hecho de que sea ​​un espacio nuclear de Montel compensa la no metrizabilidad de (consulte esta nota al pie para obtener una explicación más detallada). ^{[nota 8]}${\displaystyle K\subseteq U,}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Relaciones entre espacios

Usando la propiedad universal de los límites directos y el hecho de que las inclusiones naturales son todas incrustaciones topológicas , se puede mostrar que todos los mapas son también incrustaciones topológicas. Dicho de otra manera, la topología en es idéntica a la topología subespacial que hereda de donde recuerde que la topología se definió como la topología subespacial inducida en ella por En particular, ambos e induce la misma topología subespacial en Sin embargo, esto no implica que la topología LF canónica es igual a la topología subespacial inducida por${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)}$${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U),}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(U).}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(K).}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$; estas dos topologías en son de hecho nunca se iguales entre sí ya que la topología de LF canónica es nunca se metrizable mientras que la topología del subespacio inducida en él por es metrizable (ya que recordemos que es metrizable). La topología LF canónica en es en realidad estrictamente más fina que la topología subespacial de la que hereda (por lo tanto, la inclusión natural es continua pero no una incrustación topológica ). ^[7]${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(U)}$

De hecho, la topología LF canónica es tan fina que si denota algún mapa lineal que es una "inclusión natural" (como o o otros mapas discuten a continuación), entonces este mapa será típicamente continua, que como se muestra a continuación, en última instancia es la razón por qué las funciones localmente integrables, las medidas de radón , etc. inducen distribuciones (a través de la transposición de tal "inclusión natural"). Dicho de otra manera, la razón por la que hay tantas formas diferentes de definir distribuciones de otros espacios se debe en última instancia a lo fina que es la topología LF canónica. Además, dado que las distribuciones son solo funcionales lineales continuos, la naturaleza fina de la topología LF canónica significa que más funcionales lineales en${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to X}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to C^{k}(U),}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U),}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$terminan siendo continuos ("más" significa en comparación con una topología más burda en la que podríamos haber colocado , como por ejemplo, la topología subespacial inducida por algunos que, aunque habría hecho metrizable, también habría resultado en menos funcionales lineales en siendo continuo y, por lo tanto, habría habido menos distribuciones, además, esta topología más tosca en particular también tiene la desventaja de no convertirse en un TVS completo ^[12] ).${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{k}(U),}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Otras propiedades

• El mapa de diferenciación es un operador lineal continuo sobreyectivo. ^[13]${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)}$
• El mapa de multiplicación bilineal dado por no es continuo; sin embargo, es hipocontinua . ^[14]${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\times C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m+n})}$${\displaystyle (f,g)\mapsto fg}$

Distribuciones

Ver también: Funcional lineal continuo

Como se discutió anteriormente, continuas funcionales lineales en una se conocen como distribuciones en U . Así, el conjunto de todas las distribuciones en U es el espacio dual continuo del cual, cuando está dotado de la topología dual fuerte, se denota por${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

Por definición, una distribución en U se define como un funcional lineal continuo en Said. De manera diferente, una distribución en U es un elemento del espacio dual continuo de cuando está dotado de su topología LF canónica.${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Tenemos el emparejamiento de dualidad canónica entre una distribución T en U y una función de prueba que se denota usando paréntesis angulares por${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}}$

Uno interpreta esta notación como la distribución T que actúa sobre la función de prueba para dar un escalar, o simétricamente como la función de prueba que actúa sobre la distribución de T .${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Caracterizaciones de distribuciones

Proposición. Si T es un funcional lineal en , los siguientes son equivalentes:${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. T es una distribución;
2. Definición : T es continuo ;
3. T es continuo en el origen;
4. T es uniformemente continuo ;
5. T es un operador acotado ;
6. T es secuencialmente continuo ;
   • explícitamente, para cada secuencia en que converge en cierta ^{[nota 9]}${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. T es secuencialmente continuo en el origen; en otras palabras, T mapea secuencias nulas ^{[nota 10]} a secuencias nulas;
   • explícitamente, para cada secuencia en que converge en el origen (secuencia de un tal se llama una secuencia nula ),${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;}$
   • una secuencia nula es por definición una secuencia que converge al origen;
8. T mapea secuencias nulas a subconjuntos acotados;
   • explícitamente, para cada secuencia en que converge en el origen, la secuencia es acotada;${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
9. T mapea secuencias nulas de convergencia de Mackey ^{[nota 11]} a subconjuntos acotados;
   • explícitamente, para cada secuencia nula convergente de Mackey en la secuencia está acotada;${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
   • se dice que una secuencia es Mackey convergente a 0 si existe una secuencia divergente de número real positivo tal que la secuencia está acotada; toda secuencia que es Mackey convergente a 0 necesariamente converge al origen (en el sentido habitual);${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$${\displaystyle \left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
10. El núcleo de T es un subespacio cerrado de${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U);}$
11. La gráfica de T está cerrada;
12. Existe una seminorma continua g en tal que${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle |T|\leq g;}$
13. Existe una colección constante de seminormas continuos, que define la topología de LF canónica y un subconjunto finito tal que ^{[nota 12]}${\displaystyle C>0,}$${\displaystyle {\mathcal {P}},}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$${\displaystyle \{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}}$${\displaystyle |T|\leq C(g_{1}+\cdots g_{m});}$
14. Para cada subconjunto compacto existen constantes y tales que para todos ^[1]${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$

    ${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{p}f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};}$

15. Para cada subconjunto compacto existen constantes y tales que para todos con soporte contenido en ^[15]${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle C_{K}>0}$${\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle K,}$

    ${\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};}$

16. Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en if converge uniformemente a cero para todos los índices múltiples p , entonces${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C^{\infty }(K),}$${\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0;}$
17. Cualquiera de las tres declaraciones inmediatamente anteriores (es decir, declaraciones 14, 15 y 16) pero con el requisito adicional de que el conjunto compacto K pertenece a${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Topología en el espacio de distribuciones

Ver también: espacio dual fuerte , topología polar , topología dual y sistema dual

Definición y notación : El espacio de distribuciones en U , denotado por es el espacio dual continuo de dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ^[7] De manera más sucinta, el espacio de distribuciones en U es${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U):=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}.}$

La topología de la convergencia uniforme sobre subconjuntos acotados también se llama la topología fuerte doble . ^{[nota 13]} Se elige esta topología porque es con esta topología que se convierte en un espacio de Montel nuclear y es con esta topología que se sostiene el teorema de los núcleos de Schwartz . ^[16] Independientemente de la topología dual que se coloque en ^{[nota 14],} una secuencia de distribuciones converge en esta topología si y solo si converge puntualmente (aunque esto no tiene por qué ser cierto para una red ). Independientemente de la topología que se elija, será una no metrizable , localmente convexa${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ espacio vectorial topológico . El espacio es separable ^[17] y tiene la fuerte propiedad de Pytkeev ^[18] pero no es un espacio k ^[18] ni un espacio secuencial , ^{[17] lo} que en particular implica que no es metrizable y también que su topología puede no se puede definir utilizando solo secuencias.${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Propiedades topológicas

Categorías de espacios vectoriales topológicos

La topología LF canónica se convierte en un espacio LF estricto distinguido completo (y un espacio LB estricto si y solo si ^[19] ), lo que implica que es un subconjunto escaso de sí mismo. ^[20] Además, así como su fuerte espacio dual , es una completa Hausdorff localmente convexa Barreled bornological espacio Mackey . El dual fuerte de es un espacio de Fréchet si y solo si es así en particular, el dual fuerte del cual es el espacio de distribuciones en U${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle k\neq \infty }$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$, Es no metrizable (nota que la debilidad topología * en tampoco es metrizable y por otra parte, que además carece de casi todas las propiedades agradables que la topología fuerte de doble da ). ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Los tres espacios y el espacio de Schwartz , así como los duales fuertes de cada uno de estos tres espacios, son espacios completos nucleares ^[21] Montel ^[22] bornológicos , lo que implica que los seis de estos espacios localmente convexos son también paracompactos ^[23] reflexivos. espacios de Mackey con barriles . Los espacios y espacios de Fréchet son ambos distinguidos . Además, ambos y son televisores de Schwartz .${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

Secuencias convergentes

Secuencias convergentes y su insuficiencia para describir topologías

Los fuertes espacios duales de y son espacios secuenciales pero no espacios de Fréchet-Urysohn . ^[17] Además, ni el espacio de las funciones de prueba ni su dual fuerte es un espacio secuencial (ni siquiera un espacio Ascoli ), ^{[17] [24] lo} que en particular implica que sus topologías no se pueden definir completamente en términos de secuencias convergentes. . ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Una secuencia en converge en si y solo si existe algo que contiene esta secuencia y esta secuencia converge en ; de manera equivalente, converge si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^[25]${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle K\in \mathbb {K} }$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K)}$

1. Hay un conjunto compacto que contiene los soportes de todos${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle f_{i}.}$
2. Para cada índice múltiple, la secuencia de derivadas parciales tiende uniformemente a${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }f_{i}}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }f.}$

Ni el espacio ni su dual fuerte es un espacio secuencial , ^{[17] [24]} y, en consecuencia, sus topologías no pueden definirse completamente en términos de secuencias convergentes. Por esta razón, la caracterización anterior de cuando una secuencia converge no es suficiente para definir la topología LF canónica en Lo mismo se puede decir de la topología dual fuerte en${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

¿Qué secuencias caracterizan

Sin embargo, las secuencias caracterizan muchas propiedades importantes, como discutimos ahora. Se sabe que en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia converge en la topología dual fuerte si y solo si converge en la topología débil * , ^[26] que en particular, es la razón por la cual converge una secuencia de distribuciones ( en la topología dual fuerte) si y solo si converge puntualmente (esto lleva a muchos autores a usar la convergencia puntual para definir realmente la convergencia de una secuencia de distribuciones; esto está bien para secuencias pero no se extiende a la convergencia de redes de distribuciones ya que una red puede converger puntualmente pero no converger en la topología dual fuerte).

Las secuencias caracterizan la continuidad de mapas lineales valorados en el espacio convexo local. Suponga que X es un espacio bornológico localmente convexo (como cualquiera de los seis TVS mencionados anteriormente). Entonces un mapa lineal en un espacio localmente convexa Y es continua si y sólo si los mapas de secuencias nulos ^{[nota 10]} en X a subconjuntos acotados de Y . ^{[nota 15]} De manera más general, tal mapa lineal es continuo si y solo si asigna secuencias nulas convergentes de Mackey ^{[nota 11]} a subconjuntos acotados de So en particular, si un mapa lineal en un espacio localmente convexo es${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle F:X\to Y}$secuencialmente continua en el origen, entonces es continua. ^[27] Sin embargo, esto no se extiende necesariamente a mapas no lineales y / o mapas valorados en espacios topológicos que no son TVS localmente convexos.

Porque cada es secuencialmente denso en ^[28] Además, es un subconjunto secuencialmente denso de (con su fuerte topología dual) ^[29] y también un subconjunto secuencialmente denso del fuerte espacio dual de ^[29]${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \},C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U).}$${\displaystyle \{D_{\phi }:\phi \in C_{c}^{\infty }(U)\}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Secuencias de distribuciones

Artículo principal: Límite de distribuciones

Una secuencia de distribuciones converge con respecto a la topología débil- * en una distribución T si y solo si${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

${\displaystyle \langle T_{i},f\rangle \to \langle T,f\rangle }$

para cada función de prueba Por ejemplo, si es la función${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U).}$${\displaystyle f_{m}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f_{m}(x)={\begin{cases}m&{\text{if }}x\in [0,{\frac {1}{m}}]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

y es la distribución correspondiente a entonces${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle f_{m},}$

${\displaystyle \langle T_{m},f\rangle =m\int _{0}^{\frac {1}{m}}f(x)\,dx\to f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$

como así δ en Por lo tanto, para grandes, la función se puede considerar como una aproximación de la distribución delta de Dirac.${\displaystyle m\to \infty ,}$${\displaystyle T_{m}\to }$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ).}$${\displaystyle m,}$${\displaystyle f_{m}}$

Otras propiedades

• El espacio dual fuerte de es TVS isomorfo a a través del isomorfismo canónico TVS definido por enviar a valor en (es decir, al funcional lineal en definido por envío a );${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to ({\mathcal {D}}'(U))'_{b}}$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle d\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle d(f)}$
• En cualquier subconjunto acotado del subespacio débil y fuerte, las topologías coinciden; lo mismo es cierto para ;${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$
• Cada secuencia débilmente convergente en es fuertemente convergente (aunque esto no se extiende a las redes ).${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Localización de distribuciones

No hay manera de definir el valor de una distribución en en un punto de especial U . Sin embargo, como es el caso de las funciones, distribuciones en U restringen para dar distribuciones en subconjuntos abiertos de U . Además, las distribuciones se determinan localmente en el sentido de que una distribución en todo U puede ensamblarse a partir de una distribución en una cubierta abierta de U que satisfaga algunas condiciones de compatibilidad en las superposiciones. Esta estructura se conoce como gavilla .${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Restricciones a un subconjunto abierto

Permiten U y V subconjuntos abiertos de con V ⊆ T . Dejado ser el operador que se extiende por cero una función suave dado soporte compacto en V para una función suave de forma compacta soportado en el conjunto más grande U . La transposición de se llama mapeo de restricción y se denota por${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle E_{VU}}$${\displaystyle \rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V).}$

El mapa es una inyección continua en la que si V ⊆ U , entonces es no una inmersión topológica y su rango es no denso en lo que implica que la transposición de este mapa no es ni inyectiva ni sobreyectiva y que la topología que las transferencias de sobre su imagen está estrictamente más fino que la topología subespacial que induce en este mismo conjunto. ^[11] Se dice que una distribución es extensible a U si pertenece al rango de la transpuesta de y se dice que es extensible si es extensible a ^[11]${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U),}$${\displaystyle E_{VU}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(V)}$${\displaystyle E_{VU}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Para cualquier distribución, la restricción ρ _VU ( T ) es una distribución definida por:${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(V)}$

${\displaystyle \qquad \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).}$

A menos que U = V , la restricción a V no es inyectiva ni sobreyectiva . La falta de sobreyectividad sigue desde distribuciones pueden volar hacia el límite de V . Por ejemplo, si U = ℝ y V = (0, 2) , entonces la distribución

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$

está en pero no admite extensión a${\displaystyle {\mathcal {D}}'(V)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

Pegado y distribuciones que se desvanecen en un conjunto

Teorema ^[30]  -  Vamos a ser una colección de subconjuntos abiertos de Para cada let y supongamos que para todos la restricción de que es igual a la restricción de que (nota que ambas restricciones son elementos de ). Entonces existe un único tal que para toda la restricción de T a es igual a${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle T_{i}\in {\mathcal {D}}'(U_{i})}$${\displaystyle i,j\in I,}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle T_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U_{i}\cap U_{j})}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\cup _{i\in I}U_{i})}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle T_{i}.}$

Deje que V sea un subconjunto abierto de U . Se dice que desaparece en V si para todos los que tenemos T desaparece en V si y solo si la restricción de T a V es igual a 0, o de manera equivalente, si y solo si T se encuentra en el núcleo del mapa de restricción ρ _VU .${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq V}$${\displaystyle Tf=0.}$

Corolario. ^[30] Sea una colección de subconjuntos abiertos de y sea T = 0 si y solo si para cada uno la restricción de T a es igual a 0.${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\cup _{i\in I}U_{i}).}$ ${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle U_{i}}$

Corolario. ^[30] La unión de todos los subconjuntos abiertos de U en los que desaparece una distribución T es un subconjunto abierto de U en el que T desaparece.

Soporte de una distribución

Este último corolario implica que para cada distribución T en U , existe un subconjunto único más grande V de U tal que T desaparece en V (y no desaparece en ningún subconjunto abierto de U que no esté contenido en V ); el complemento en T de este único subconjunto abierto más grande se llama el apoyo de T . ^[30] Así

${\displaystyle \operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.}$

Si es una función localmente integrable en U y si es su distribución asociada, entonces el soporte de es el subconjunto cerrado más pequeño de U en cuyo complemento es casi en todas partes igual a 0. ^[30] Si es continuo, entonces el soporte de es igual al cierre del conjunto de puntos en U en el que no desaparece. ^[30] El soporte de la distribución asociada con la medida de Dirac en un punto es el conjunto ^[30] Si el soporte de una función de prueba no interseca el soporte de una distribución T${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \{x_{0}\}.}$${\displaystyle f}$entonces Tf = 0 . Una distribución T es 0 si y solo si su soporte está vacío. Si es idénticamente 1 en un conjunto abierto que contiene el soporte de una distribución T entonces fT = T . Si el soporte de una distribución T es compacto, entonces tiene un orden finito y, además, hay una constante C y un entero no negativo N tal que: ^[6]${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$

${\displaystyle \qquad |T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$

Si T tiene soporte compacto, entonces tiene una extensión única a un funcional lineal continuo encendido ; este funcional se puede definir por donde es cualquier función que es idénticamente 1 en un conjunto abierto que contiene el soporte de T . ^[6]${\displaystyle {\widehat {T}}}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\widehat {T}}(f):=T(\psi f),}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U)}$

Si y luego y Por lo tanto, las distribuciones con soporte en un subconjunto dado forman un subespacio vectorial de ; tal un subespacio está cerrado débilmente en si y sólo si A es cerrado en U . ^[31] Además, si es un operador diferencial en U , entonces para todas las distribuciones T en U y todo lo que tenemos y ^[31]${\displaystyle S,T\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T).}$${\displaystyle A\subseteq U}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (P(x,\partial )T)\subseteq \operatorname {supp} (T)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T).}$

Distribuciones con soporte compacto

Soporte en un conjunto de puntos y medidas de Dirac

Para cualquier , denotemos la distribución inducida por la medida de Dirac en x . Para cualquier distribución y el soporte de T está contenido en si y solo si T es una combinación lineal finita de derivadas de la medida de Dirac en ^[32] Si además el orden de T es entonces existen constantes tales que: ^[33]${\displaystyle x\in U,}$${\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle x_{0}\in U}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle \{x_{0}\}}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle \leq k}$${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\alpha _{p}\partial ^{p}\delta _{x_{0}}.}$

Dicho de otra manera, si T tiene soporte en un solo punto entonces T es de hecho la combinación de un finito lineal de los derivados de la distribución de la δ función en P . Es decir, existe un entero my constantes complejas a _α tal que${\displaystyle \{P\},}$

${\displaystyle T=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$

donde es el operador de traducción.${\displaystyle \tau _{P}}$

Distribución con soporte compacto

Teorema ^[6]  -  Supongamos que T es una distribución en U con soporte compacto K . Existe una función continua definida en U y un índice múltiple p tal que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle T=\partial ^{p}f,}$

donde los derivados se entienden en el sentido de distribuciones. Es decir, para todas las funciones de prueba en U , ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle T\phi =(-1)^{|p|}\int _{U}f(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$

Distribuciones de orden finito con soporte en un subconjunto abierto

Teorema ^[6]  -  Supongamos que T es una distribución en U con soporte compacto K y dejar que V sea un subconjunto abierto de U que contiene K . Dado que toda distribución con soporte compacto tiene un orden finito, tome N como el orden de T y defina Existe una familia de funciones continuas definidas en U con soporte en V tal que ${\displaystyle P:=\{0,1,\ldots ,N+2\}^{n}.}$${\displaystyle (f_{p})_{p\in P}}$

${\displaystyle T=\sum _{p\in P}\partial ^{p}f_{p},}$

donde los derivados se entienden en el sentido de distribuciones. Es decir, para todas las funciones de prueba en U , ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle T\phi =\sum _{p\in P}(-1)^{|p|}\int _{U}f_{p}(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$

Estructura global de distribuciones

La definición formal de distribuciones las exhibe como un subespacio de un espacio muy grande, es decir, el dual topológico de (o el espacio de Schwartz${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$para distribuciones templadas). De la definición no queda claro de inmediato cuán exótica puede ser una distribución. Para responder a esta pregunta, es instructivo ver distribuciones construidas a partir de un espacio más pequeño, a saber, el espacio de funciones continuas. Aproximadamente, cualquier distribución es localmente una derivada (múltiple) de una función continua. Una versión precisa de este resultado, que se muestra a continuación, es válida para distribuciones de soporte compacto, distribuciones templadas y distribuciones generales. En términos generales, ningún subconjunto adecuado del espacio de distribuciones contiene todas las funciones continuas y está cerrado bajo diferenciación. Esto dice que las distribuciones no son objetos particularmente exóticos; son tan complicados como sea necesario.

Distribuciones como gavillas

Teorema ^[34]  -  Let T sea una distribución en U . Existe una secuencia en tal manera que cada T _i tiene soporte compacto y cada subconjunto compacto K ⊆ U intersecta el apoyo de sólo un número finito T _i , y la secuencia de sumas parciales definidas por converge en a T ; en otras palabras tenemos:${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle (S_{j})_{j=1}^{\infty },}$${\displaystyle S_{j}:=T_{1}+\cdots +T_{j},}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }T_{i}.}$

Recuerde que una secuencia converge (con su fuerte topología dual) si y solo si converge puntualmente.${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Descomposición de distribuciones como sumas de derivadas de funciones continuas

Mediante la combinación de los resultados anteriores, se puede expresar cualquier distribución en U como la suma de una serie de distribuciones con soporte compacto, donde cada una de estas distribuciones pueden a su vez ser escrita como una suma finita de los derivados de la distribución de funciones continuas en U . En otras palabras para arbitrario podemos escribir:${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},}$

donde son conjuntos finitos de índices múltiples y las funciones son continuas.${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots }$${\displaystyle f_{ip}}$

Teorema ^[35]  -  Let T ser una distribución en U . Para cada multi-índice p existe una función continua g _p en U tal que

1. cualquier subconjunto compacto K de U interseca el soporte de solo un número finito de g _p , y
2. ${\displaystyle T=\sum \nolimits _{p}\partial ^{p}g_{p}.}$

Además, si T tiene un orden finito, entonces se puede elegir g _p de tal manera que solo un número finito de ellos sean distintos de cero.

Tenga en cuenta que la suma infinita anterior está bien definida como una distribución. El valor de T para un dato dado se puede calcular usando los finitos g _α que cortan el soporte de${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle f.}$

Operaciones sobre distribuciones

Muchas operaciones que se definen en funciones suaves con soporte compacto también se pueden definir para distribuciones. En general, si es un mapa lineal que es continuo con respecto a la topología débil , entonces es posible extender A a un mapa pasando al límite. ^{[nota 16] [ cita requerida ] [ aclaración necesaria ]}${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$

Preliminares: Transposición de un operador lineal

Las operaciones en distribuciones y espacios de distribuciones a menudo se definen mediante la transposición de un operador lineal porque proporciona un enfoque unificado que las muchas definiciones en la teoría de distribuciones y debido a sus muchas propiedades topológicas bien conocidas. ^[36] En general, la transposición de un mapa lineal continuo es el mapa lineal definido por o de manera equivalente, es el mapa único que satisface para todos y todos Dado que A es continua, la transposición también es continua cuando ambos duales están dotados de sus respectivos fuertes topologías duales; también es continuo cuando ambos duales están dotados de sus respectivas topologías débiles *${\displaystyle A:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'}$${\displaystyle {}^{t}A(y'):=y'\circ A,}$${\displaystyle \langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y'\in Y'.}$${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'}$(consulte los artículos topología polar y sistema dual para obtener más detalles).

En el contexto de las distribuciones, la caracterización de la transposición se puede refinar ligeramente. Sea un mapa lineal continuo. Entonces, por definición, la transposición de A es el operador lineal único que satisface:${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle A^{t}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$

${\displaystyle \langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle }$      para todos y para todos${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Sin embargo, dado que la imagen de es densa , es suficiente que la igualdad anterior se mantenga para todas las distribuciones de la forma donde explícitamente, esto significa que la condición anterior se cumple si y solo si se cumple la condición siguiente:${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle T=D_{\psi }}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U).}$

${\displaystyle \langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi (A\phi )\,dx}$       para todos ${\displaystyle \phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U).}$

Operadores diferenciales

Diferenciación de distribuciones

Let es el operador de derivada parcial Para extender calculamos su transpuesta:${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle &=\int _{U}\psi (A\phi )\,dx&&{\text{(See above.)}}\\&=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]&=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx&&{\text{(integration by parts)}}\\[4pt]&=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]&=-\langle A\psi ,\phi \rangle \end{aligned}}}$

Por lo tanto Por lo tanto, la derivada parcial de con respecto a la coordenada se define mediante la fórmula${\displaystyle {}^{t}A=-A.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$

Con esta definición, toda distribución es infinitamente diferenciable y la derivada en la dirección es un operador lineal en${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

De manera más general, si es un índice múltiple arbitrario , entonces la derivada parcial de la distribución se define por${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \partial ^{\alpha }T}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$

${\displaystyle \langle \partial ^{\alpha }T,\phi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle T,\partial ^{\alpha }\phi \rangle \qquad {\text{for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$

La diferenciación de distribuciones es un operador continuo en esta es una propiedad importante y deseable que no es compartida por la mayoría de las otras nociones de diferenciación.${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U);}$

Si T es una distribución en ℝ entonces

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ),}$

donde es la derivada de T y τ _x es la traslación por x ; por tanto, la derivada de T puede verse como un límite de cocientes. ^[37]${\displaystyle T'}$

Operadores diferenciales que actúan sobre funciones suaves

Un operador diferencial lineal en U con coeficientes suaves actúa sobre el espacio de funciones suaves sobre Dado que nos gustaría definir un mapa lineal continuo, que extiende la acción de sobre a distribuciones sobre En otras palabras, nos gustaría definir tal que el siguiente diagrama conmuta:${\displaystyle U.}$${\displaystyle \textstyle P:=\sum \nolimits _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha }}$${\displaystyle D_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle D_{P}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U)&{\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {D}}'(U)\\\uparrow &&\uparrow \\C^{\infty }(U)&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&C^{\infty }(U)\end{matrix}}}$

Donde los mapas verticales se dan asignando su distribución canónica que se define por: para todos Con esta notación el diagrama de desplazamientos equivale a:${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle D_{f}(\phi )=\langle f,\phi \rangle }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U).}$

${\displaystyle D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).}$

Para encontrarlo , consideramos la transposición del mapa inducido continuo definido por Como se discutió anteriormente, para cualquier, la transposición puede calcularse mediante:${\displaystyle D_{P}}$${\displaystyle {}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle \phi \mapsto P(\phi ).}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle &=\int _{U}f(x)P(\phi )(x)\,dx\\&=\int _{U}f(x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi )(x)\right]\,dx\\&=\sum \nolimits _{\alpha }\int _{U}f(x)c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi )(x)\,dx\\&=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\end{aligned}}}$

Para la última línea utilizamos la integración por partes combinada con el hecho de que y por tanto todas las funciones tienen soporte compacto. ^{[nota 17]} Continuando con el cálculo anterior, tenemos para todos${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f(x)c_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }\phi (x)}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U):}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle &=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx&&{\text{As shown above}}\\[4pt]&=\int _{U}\phi (x)\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{U}\phi (x)\sum _{\alpha }\left[\sum _{\gamma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx&&{\text{Leibniz rule}}\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\sum _{\gamma \leq \alpha }(-1)^{|\alpha |}{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\left[\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\left(\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\right)(x)\right](\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx&&{\text{Grouping terms by derivatives of }}f\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx&&b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\\&=\left\langle \left(\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\right)(f),\phi \right\rangle \end{aligned}}}$

Defina la transposición formal de la${\displaystyle P,}$ cual será denotada por para evitar confusiones con el mapa de transposición, que será el siguiente operador diferencial en U :${\displaystyle P_{*}}$

${\displaystyle P_{*}:=\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }}$

Los cálculos anteriores han demostrado que:

Lema. Sea un operador diferencial lineal con coeficientes suaves en Entonces para todo lo que tenemos${\displaystyle P}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$

${\displaystyle \left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle =\left\langle D_{P_{*}(f)},\phi \right\rangle ,}$

que es equivalente a:

${\displaystyle {}^{t}P(D_{f})=D_{P_{*}(f)}.}$

El Lemma combina con el hecho de que la transpuesta formal de la transpuesta formal es el operador diferencial original, es decir, ^[8] nos permite llegar a la definición correcta: la transpuesta formales induce la (continua) canónica operador lineal definido por Reivindicamos que la transpuesta de este mapa, se puede tomar como Para ver esto, para cada , calcule su acción en una distribución de la forma con :${\displaystyle P_{**}=P,}$${\displaystyle P_{*}:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \phi \mapsto P_{*}(\phi ).}$${\displaystyle {}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle D_{P}.}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P_{*}(D_{f}),\phi \right\rangle &=\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle &&{\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\&=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle &&P_{**}=P\end{aligned}}}$

Llamamos al operador lineal continuo el operador diferencial en las distribuciones que se extienden P . ^[8] Su acción sobre una distribución arbitraria se define mediante:${\displaystyle D_{P}:={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle D_{P}(S)(\phi )=S(P_{*}(\phi ))\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$

Si converge a entonces para cada índice múltiple converge a${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle \alpha ,(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Multiplicación de distribuciones por funciones suaves

Un operador diferencial de orden 0 es simplemente una multiplicación por una función suave. Y a la inversa, si es una función suave, entonces es un operador diferencial de orden 0, cuya transposición formal es él mismo (es decir ). El operador diferencial inducido asigna una distribución T a una distribución denotada por. Por tanto, hemos definido la multiplicación de una distribución por una función suave. ${\displaystyle f}$${\displaystyle P:=f(x)}$${\displaystyle P_{*}=P}$${\displaystyle D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle fT:=D_{P}(T).}$

Ahora damos una presentación alternativa de la multiplicación por una función suave. Si es una función suave y T es una distribución en U , entonces el producto mT está definido por${\displaystyle m:U\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$

Esta definición coincide con la definición de transposición ya que si es el operador de multiplicación por la función m (es decir, ), entonces${\displaystyle M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle (M\phi )(x)=m(x)\phi (x)}$

${\displaystyle \int _{U}(M\phi )(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi )(x)\,dx,}$

así que eso ${\displaystyle {}^{t}M=M.}$

Bajo la multiplicación por funciones suaves, hay un módulo sobre el anillo. Con esta definición de multiplicación por una función suave, la regla de cálculo del producto ordinario sigue siendo válida. Sin embargo, también surgen varias identidades inusuales. Por ejemplo, si δ ′ es la distribución delta de Dirac en ℝ , entonces mδ = m (0) δ , y si δ ′ es la derivada de la distribución delta, entonces${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .}$

El mapa de multiplicación bilineal dado por no es continuo; sin embargo, es hipocontinua . ^[14]${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle (f,T)\mapsto fT}$

Ejemplo. Para cualquier distribución T , el producto de T con la función que es idénticamente 1 en U es igual a T .

Ejemplo. Suponga que es una secuencia de funciones de prueba en U que converge a la función constante Para cualquier distribución T en U , la secuencia converge a ^[38]${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle 1\in C^{\infty }(U).}$${\displaystyle (f_{i}T)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Si converge hacia y converge a continuación converge a${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle (f_{i}T_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle fT\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Problema de multiplicar distribuciones

Es fácil definir el producto de una distribución con una función suave, o más generalmente el producto de dos distribuciones cuyos soportes singulares son disjuntos. Con más esfuerzo es posible definir un producto de buen comportamiento de varias distribuciones siempre que sus conjuntos de frentes de onda en cada punto sean compatibles. Una limitación de la teoría de distribuciones (e hiperfunciones) es que no existe un producto asociativo de dos distribuciones que extiendan el producto de una distribución mediante una función suave, como lo demostró Laurent Schwartz en la década de 1950. Por ejemplo, si pv1/Xes la distribución obtenida por el valor principal de Cauchy

${\displaystyle \left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi )=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$

Si δ es la distribución delta de Dirac, entonces

${\displaystyle (\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0}$

pero

${\displaystyle \delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta }$

por tanto, el producto de una distribución por una función suave (que siempre está bien definida) no puede extenderse a un producto asociativo en el espacio de distribuciones.

Por lo tanto, los problemas no lineales no pueden plantearse en general y, por lo tanto, no pueden resolverse solo dentro de la teoría de la distribución. En el contexto de la teoría cuántica de campos , sin embargo, se pueden encontrar soluciones. En más de dos dimensiones del espacio-tiempo, el problema está relacionado con la regularización de las divergencias . Aquí Henri Epstein y Vladimir Glaser desarrollaron la teoría de la perturbación causal matemáticamente rigurosa (pero extremadamente técnica) . Esto no resuelve el problema en otras situaciones. Muchas otras teorías interesantes no son lineales, como por ejemplo las ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes .

Se han desarrollado varias teorías no del todo satisfactorias ^{[ cita requerida ]} de álgebras de funciones generalizadas , entre las cuales la álgebra de Colombeau (simplificada) es quizás la más popular en uso en la actualidad.

Inspirado por la teoría del camino aproximado de Lyons , ^[39] Martin Hairer propuso una forma consistente de multiplicar distribuciones con cierta estructura ( estructuras de regularidad ^[40] ), disponible en muchos ejemplos del análisis estocástico, en particular ecuaciones diferenciales parciales estocásticas. Ver también Gubinelli-Imkeller-Perkowski (2015) para un desarrollo relacionado basado en Bony 's paraproduct a partir del análisis de Fourier.

Composición con una función suave

Deje que T sea una distribución en Let V sea un conjunto abierto en y F  : V → U . Si F es una inmersión , es posible definir${\displaystyle U.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).}$

Esta es la composición de la distribución T con F , y también se llama el retroceso de T a lo largo de F , a veces escrito

${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$

El retroceso a menudo se denota F * , aunque esta notación no debe confundirse con el uso de '*' para denotar el adjunto de un mapeo lineal.

La condición de que F sea una sumersión es equivalente a la exigencia de que la jacobiana derivado d F ( x ) de F es un sobreyectiva mapa lineal para cada x ∈ V . Una condición necesaria (pero no suficiente) para extender F ^# a distribuciones es que F sea ​​un mapeo abierto . ^[41] El teorema de la función inversa asegura que una inmersión satisface esta condición.

Si F es una inmersión, entonces F ^# se define en distribuciones al encontrar el mapa de transposición. La unicidad de esta extensión está garantizada ya que F ^# es un operador lineal continuo en Existencia, sin embargo, requiere usar la fórmula de cambio de variables , el teorema de la función inversa (localmente) y un argumento de partición de unidad . ^[42]${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

En el caso especial cuando F es un difeomorfismo de un subconjunto abierto V de sobre un subconjunto abierto U de cambio de variables bajo la integral da${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$

En este caso particular, entonces, F ^# se define mediante la fórmula de transposición:

${\displaystyle \left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle .}$

Convolución

En algunas circunstancias, es posible definir la convolución de una función con una distribución, o incluso la convolución de dos distribuciones. Recordemos que si y g son funciones en entonces denotamos por la convolución de y g , que se define a ser la integral${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle (f\ast g)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)g(x-y)\,dy}$

siempre que exista la integral. Si son tales que 1 / r = (1 / p ) + (1 / q ) - 1 a continuación, para cualquier función y tenemos y ^[43] Si y g son funciones continuas en al menos uno de los cuales tiene soporte compacto, a continuación, y Si entonces el valor de en un do no depende de los valores de la parte exterior de la suma de Minkowski ^[43]${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \|f\ast g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\ast g}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}.}$

Es importante destacar que si tiene soporte compacto, entonces para cualquiera el mapa de convolución es continuo cuando se considera como el mapa o como el mapa ^[43]${\displaystyle g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$${\displaystyle f\mapsto f\ast g}$${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Traslación y simetría

Dado el operador de traducción τ _a envía a definido por Esto se puede extender mediante la transposición a distribuciones de la siguiente manera: dada una distribución T , la traducción de por es la distribución definida por ^{[44] [45]}${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \tau _{a}f(y)=f(y-a).}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \tau _{a}T(\phi ):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle .}$

Dado definir la función por Dada una distribución T , sea ​​la distribución definida por El operador se llama simetría con respecto al origen . ^[44]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=f(-x).}$${\displaystyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\tilde {T}}(\phi ):=T\left({\tilde {\phi }}\right).}$${\displaystyle T\mapsto {\tilde {T}}}$

Convolución de una función de prueba con una distribución

La convolución con define un mapa lineal:${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}C_{f}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\C_{f}(g):=f\ast g\end{cases}}}$

que es continua con respecto a la topología espacial canónica de LF en${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

La convolución de con una distribución se puede definir tomando la transpuesta de C _f relativa al emparejamiento de dualidad de con el espacio de distribuciones. ^[46] Si entonces por el teorema de Fubini${\displaystyle f}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),}$

${\displaystyle \langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle .}$

Extendiéndose por continuidad, la convolución de con una distribución T se define por${\displaystyle f}$

${\displaystyle \langle f\ast T,\phi \rangle =\left\langle T,{\tilde {f}}\ast \phi \right\rangle ,}$

para todos ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Una forma alternativa de definir la convolución de una función de prueba y una distribución T es usar el operador de traducción τ _a . La convolución de la función soportada de forma compacta y la distribución T es entonces la función definida para cada una por${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle (f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle .}$

Se puede demostrar que la convolución de una función suave y con un soporte compacto y una distribución es una función suave. Si la distribución T tiene soporte compacto, entonces si es un polinomio (resp. Una función exponencial, una función analítica, la restricción de una función analítica completa a la restricción de una función completa de tipo exponencial en a ) entonces lo mismo es cierto de ^[44] Si la distribución T también tiene soporte compacto, entonces es una función con soporte compacto, y el teorema de convolución de Titchmarsh Hörmander (1983 , Teorema 4.3.3) implica que${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T\ast f.}$${\displaystyle f\ast T}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))}$

donde ch denota el casco convexo y sup denota el soporte.

Convolución de una función suave con una distribución

Supongamos y y supongamos que al menos uno de y T tiene soporte compacto. La convolución de y T , denotada por o por es la función suave: ^[44]${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\ast T}$${\displaystyle T\ast f,}$

${\displaystyle {\begin{cases}f\ast T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} \\(f\ast T)(x):=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \end{cases}}}$

satisfactorio para todos :${\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]&{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f)\end{cases}}.\end{aligned}}}$

Si T es una distribución, entonces el mapa es continuo como un mapa donde si además T tiene un soporte compacto, entonces también es continuo como el mapa y continuo como el mapa ^[44]${\displaystyle f\mapsto T\ast f}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Si es un mapa lineal continuo tal que para todos y todos entonces existe una distribución tal que para todos ^[6]${\displaystyle L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L\phi =T\circ \phi }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Ejemplo. ^[6] Sea H la función Heaviside en ℝ . Para cualquier${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ),}$

${\displaystyle (H\ast \phi )(x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt.}$

Sea la medida de Dirac en 0 y su derivada como distribución. Entonces, y lo que es más importante, la ley asociativa no cumple:${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta '}$${\displaystyle \delta '\ast H=\delta }$${\displaystyle 1\ast \delta '=0.}$

${\displaystyle 1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.}$

Convolución de distribuciones

También es posible definir la convolución de dos distribuciones S y T en siempre que una de ellas tenga soporte compacto. De manera informal, para definir S ∗ T donde T tiene soporte compacto, la idea es extender la definición de la convolución ∗ a una operación lineal sobre distribuciones de modo que la fórmula de asociatividad${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle S\ast (T\ast \phi )=(S\ast T)\ast \phi }$

sigue siendo válido para todas las funciones de prueba ^[47]${\displaystyle \phi .}$

También es posible proporcionar una caracterización más explícita de la convolución de distribuciones. ^[46] Suponga que S y T son distribuciones y que S tiene soporte compacto. Entonces los mapas lineales

${\displaystyle {\begin{cases}\bullet \ast {\tilde {S}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\f\mapsto f\ast {\tilde {S}}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\bullet \ast {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\\f\mapsto f\ast {\tilde {T}}\end{cases}}}$

son continuos. Las transposiciones de estos mapas,

${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

son consecuentemente continuos y uno puede mostrar que

${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right)(T)={}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right)(S).}$^[44]

Este valor común se llama la convolución de S y T y es una distribución que se denota por o Satisface ^[44] Si S y T son dos distribuciones, al menos una de las cuales tiene soporte compacto, entonces para cualquier ^[44] Si T es una distribución en y si es una medida de Dirac entonces ^[44]${\displaystyle S\ast T}$${\displaystyle T\ast S.}$${\displaystyle \operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} (T).}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right).}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle T\ast \delta =T.}$

Supongamos que es T el que tiene soporte compacto. Para considerar la función${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle .}$

Se puede demostrar fácilmente que esto define una función uniforme de x , que además tiene un soporte compacto. La convolución de S y T está definida por

${\displaystyle \langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle .}$

Esto generaliza la noción clásica de convolución de funciones y es compatible con la diferenciación en el siguiente sentido: para cada multi-índice α ,

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).}$

La convolución de un número finito de distribuciones, todas las cuales (excepto posiblemente una) tienen soporte compacto, es asociativa . ^[44]

Esta definición de convolución sigue siendo válida bajo supuestos menos restrictivos sobre S y T . ^[48]

La convolución de distribuciones con soporte compacto induce un mapa bilineal continuo definido por donde denota el espacio de distribuciones con soporte compacto. ^[14] Sin embargo, el mapa de convolución como función no es continuo ^[14] aunque es continuo por separado. ^[49] Los mapas de convolución y los dados por ambos no son continuos. ^[14] Cada uno de estos mapas no continuos es, sin embargo, continuo e hipocontinuo por separado . ^[14]${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'}$${\displaystyle (S,T)\mapsto S*T,}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle (f,T)\mapsto f*T}$

Convolución versus multiplicación

En general, se requiere regularidad para los productos de multiplicación y localidad para los productos de convolución. Se expresa en la siguiente extensión del Teorema de convolución que garantiza la existencia de productos tanto de convolución como de multiplicación. Sea una distribución templada rápidamente decreciente o, de manera equivalente, sea ​​una función ordinaria (de crecimiento lento, suave) dentro del espacio de distribuciones templadas y sea ​​la transformada de Fourier normalizada (frecuencia unitaria, ordinaria) ^[50] entonces, según Schwartz (1951 ) ,${\displaystyle F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}}$${\displaystyle F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(f*g)=F(f)\cdot F(g)}$

${\displaystyle F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)}$

mantener dentro del espacio de distribuciones templadas. ^{[51] [52] [53]} En particular, estas ecuaciones se convierten en la fórmula de suma de Poisson si es el peine de Dirac . ^[54] El espacio de todas las distribuciones templadas que disminuyen rápidamente también se denomina espacio de operadores de convolución y el espacio de todas las funciones ordinarias dentro del espacio de distribuciones templadas también se denomina espacio de operadores de multiplicación De manera más general, y ^{[55] [56]} Un caso particular es el Teorema de Paley-Wiener-Schwartz que establece que y Esto se debe a que y${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$${\displaystyle F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}}$${\displaystyle F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW} }$${\displaystyle F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'.}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}}$${\displaystyle \operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.}$En otras palabras, las distribuciones templadas con soporte compacto pertenecen al espacio de los operadores de convolución y las funciones de Paley-Wiener, más conocidas como funciones de banda limitada , pertenecen al espacio de los operadores de multiplicación ^[57]${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$${\displaystyle \operatorname {PW} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$

Por ejemplo, sea ​​el peine de Dirac y el delta de Dirac, entonces es la función que es constantemente una y ambas ecuaciones producen la identidad del peine de Dirac . Otro ejemplo es dejar ser el peine de Dirac y ser la función rectangular, entonces es la función sinc y ambas ecuaciones producen el Teorema de muestreo clásico para funciones adecuadas . De manera más general, si es el peine de Dirac y es una función de ventana suave ( función de Schwartz ), por ejemplo, la gaussiana , entonces${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'}$${\displaystyle f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'}$${\displaystyle \alpha \equiv 1\in \operatorname {PW} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'}$${\displaystyle \alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW} }$${\displaystyle \operatorname {rect} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {S}}}$es otra función de ventana suave (función de Schwartz). Se les conoce como atenuadores , especialmente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , o como regularizadores en física porque permiten convertir funciones generalizadas en funciones regulares .

Producto tensorial de distribuciones

Dejemos y seamos conjuntos abiertos. Supongamos que todos los espacios vectoriales están sobre el campo donde o Para definimos la siguiente familia de funciones:${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} ,}$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$

${\displaystyle \left\{\left.{\begin{cases}f_{x}:V\to \mathbb {F} \\y\mapsto f(x,y)\end{cases}}\right|x\in U\right\},\qquad \left\{\left.{\begin{cases}f^{y}:U\to \mathbb {F} \\x\mapsto f(x,y)\end{cases}}\right|y\in V\right\}.}$

Dadas y definimos las siguientes funciones:${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\langle S,f^{\bullet }\rangle :V\to \mathbb {F} \\y\mapsto \langle S,f^{y}\rangle \end{cases}}\\[8pt]{\begin{cases}\langle T,f_{\bullet }\rangle :U\to \mathbb {F} \\x\mapsto \langle T,f_{x}\rangle \end{cases}}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que y Ahora definimos los siguientes mapas lineales continuos asociados a y :${\displaystyle \langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}'(U)\ni S&\longrightarrow {\begin{cases}{\mathcal {D}}(U\times V)\to {\mathcal {D}}(V)\\f\mapsto \langle S,f^{\bullet }\rangle \end{cases}}\\[8pt]{\mathcal {D}}'(V)\ni T&\longrightarrow {\begin{cases}{\mathcal {D}}(U\times V)\to {\mathcal {D}}(U)\\f\mapsto \langle T,f_{\bullet }\rangle \end{cases}}\end{aligned}}}$

Además, si cualquiera de (resp. ) Tiene soporte compacto, entonces también induce un mapa lineal continuo de (resp. ). ^[58]${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)}$${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)}$

Teorema de Fubini para distribuciones ^[58]  -  SeayFor everytenemos:${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V).}$${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$${\displaystyle \langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$

Definición. El producto tensorial de y${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V),}$ denotado por o es una distribución en y se define por: ^[58]${\displaystyle S\otimes T}$${\displaystyle T\otimes S,}$${\displaystyle U\times V}$

${\displaystyle (S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$

Teorema del núcleo de Schwartz

El producto tensorial define un mapa bilineal

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times {\mathcal {D}}'(V)\to {\mathcal {D}}'(U\times V)\\(S,T)\mapsto S\otimes T\end{cases}}}$

el intervalo del rango de este mapa es un subespacio denso de su codominio. Además, ^[58] Además induce mapas bilineales continuos:${\displaystyle \operatorname {supp} (S\otimes T)=\operatorname {supp} (S)\times \operatorname {supp} (T).}$${\displaystyle (S,T)\mapsto S\otimes T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}'(U)\times {\mathcal {E}}'(V)&\to {\mathcal {E}}'(U\times V)\\{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m})\times {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})&\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m+n})\end{aligned}}}$

donde denota el espacio de distribuciones con soporte compacto y es el espacio de Schwartz de funciones rápidamente decrecientes. ^[14]${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Teorema del núcleo de Schwartz ^[59]  -  Tenemos isomorfismos TVS canónicos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m+n})&\cong {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\cong L_{b}({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m});{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}))\\{\mathcal {E}}'(U\times V)&\cong {\mathcal {E}}'(U)\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {E}}'(V)\cong L_{b}(C^{\infty }(U);{\mathcal {E}}'(V))\\{\mathcal {D}}'(U\times V)&\cong {\mathcal {D}}'(U)\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {D}}'(V)\cong L_{b}({\mathcal {D}}(U);{\mathcal {D}}'(V))\end{aligned}}}$

Aquí representa la finalización del producto tensorial inyectivo (que en este caso es idéntica a la finalización del producto tensorial proyectivo , ya que estos espacios son nucleares ) y tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados .${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

Este resultado no es válido para los espacios de Hilbert como y su espacio dual. ^[60] ¿Por qué ese resultado es válido para el espacio de distribuciones y funciones de prueba, pero no para otros espacios "agradables" como el espacio de Hilbert ? Esta pregunta dirigida Alexander Grothendieck para descubrir espacios nucleares , mapas nucleares , y el producto de tensor inyectiva . Finalmente, demostró que es precisamente porque es un espacio nuclear lo que sostiene el teorema del núcleo de Schwartz .${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$

Espacios de distribuciones

Para todo 0 < k <∞ y todo 1 < p <∞ , todas las siguientes inyecciones canónicas son continuas y tienen un rango que es denso en su codominio:

${\displaystyle {\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&&&&&\\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)&&&&&&\\\end{matrix}}}$

donde las topologías en ( ) se definen como límites directos de los espacios de una manera análoga a cómo se definieron las topologías en (por lo que, en particular, no son las topologías de norma habituales). El rango de cada uno de los mapas anteriores (y de cualquier composición de los mapas anteriores) es denso en el codominio. De hecho, es incluso secuencialmente denso en cada ^[28]. Todas las inyecciones canónicas ( ) son continuas y el rango de esta inyección es denso en el codominio si y solo si (aquí tiene su topología de norma habitual ). ^[61]${\displaystyle L_{c}^{q}(U)}$${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$${\displaystyle L_{c}^{q}(K)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U).}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U)}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle p\neq \infty }$${\displaystyle L^{p}(U)}$

Suponga que es uno de los espacios ( ) o ( ) o ( ). Dado que la inyección canónica es una inyección continua cuya imagen es densa en el codominio, la transposición es una inyección continua. Esta transposición nos permite así identificarnos con un determinado subespacio vectorial del espacio de distribuciones. Este mapa de transposición no es necesariamente una TVS-incrustación de modo que la topología de que este mapa transferencias a la imagen es más fina que la topología del subespacio que este espacio hereda de A lineales subespacio de que lleva un localmente convexa topología que es más fina que la topología de subespacio inducida por IS llamado un espacio de distribuciones${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle L^{p}(U)}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$. ^[61] Casi todos los espacios de distribuciones mencionados en este artículo surgen de esta manera (por ejemplo, distribución templada, restricciones, distribuciones de orden de algunos enteros, distribuciones inducidas por una medida de radón positiva, distribuciones inducidas por una función-, etc.) y Cualquier teorema de representación sobre el espacio dual de X puede, a través de la transposición, ser transferido directamente a elementos del espacio.${\displaystyle \leq }$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).}$

Medidas de radón

La inclusión natural es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición es también una inyección continua.${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$

Tenga en cuenta que el espacio dual continuo se puede identificar como el espacio de medidas de radón , donde hay una correspondencia uno a uno entre los funcionales lineales continuos y la integral con respecto a una medida de radón; es decir, ${\displaystyle (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$

• si entonces existe una medida de radón en U tal que para todos y${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\textstyle \int _{U}f\,d\mu ,}$

• si es una medida de radón en U, entonces el funcional lineal definido por es continuo.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{0}(U)\ni f\mapsto \textstyle \int _{U}f\,d\mu }$

A través de la inyección de cada medida de Radon se convierte en una distribución en U . Si es una función localmente integrable en U, entonces la distribución es una medida de radón; por lo que las medidas de radón forman un gran e importante espacio de distribuciones.${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \phi \mapsto \textstyle \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$

El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de medidas de radón , que muestra que cada medida de radón se puede escribir como una suma de derivadas de funciones locales en U :${\displaystyle L^{\infty }}$

Teorema. ^[34] Suponga que es una medida de radón, V ⊆ U es una vecindad del soporte de T , y existe una familia de funciones locales en U tal que${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.}$${\displaystyle L^{\infty }}$

${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}}$

y por muy ${\displaystyle p\in I,\operatorname {supp} \mu _{p}\subseteq V.}$

Medidas positivas de radón

Una función lineal T en un espacio de funciones se llama positiva si siempre que una función que pertenece al dominio de T es no negativa ( es decir, tiene un valor real y ) entonces Se puede mostrar que toda función lineal positiva en es necesariamente continua (es decir, necesariamente una medida de radón). ^[62] Tenga en cuenta que la medida de Lebesgue es un ejemplo de medida positiva de radón.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle T(f)\geq 0.}$${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$

Funciones integrables localmente como distribuciones

Una clase particularmente importante de medidas de radón son las que son funciones inducidas localmente integrables. La función se llama localmente integrable si es Lebesgue integrable sobre cada subconjunto compacto K de U . ^{[nota 18]} Esta es una gran clase de funciones que incluye todas las funciones continuas y todas las funciones L p . La topología en se define de tal manera que cualquier función integrable localmente produce un funcional lineal continuo en - es decir, un elemento de - denotado aquí por T _f , cuyo valor en la función de prueba${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle \phi }$ viene dada por la integral de Lebesgue:

${\displaystyle \langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.}$

Convencionalmente, se abusa de la notación identificando T _f con siempre que no pueda surgir confusión y, por lo tanto, el emparejamiento entre T _f y a menudo se escribe${\displaystyle f,}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .}$

Si y g son dos funciones localmente integrables, entonces las distribuciones asociadas T _f y T _g son iguales al mismo elemento de si y sólo si y g son iguales en casi todas partes (véase, por ejemplo, Hörmander (1983 , Teorema 1.2.5) ). De manera similar, cada medida de radón en U define un elemento cuyo valor en la función de prueba es. Como arriba, es convencional abusar de la notación y escribir el emparejamiento entre una medida de radón y una función de prueba como${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \textstyle \int \phi \,d\mu .}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \langle \mu ,\phi \rangle .}$A la inversa, como se muestra en un teorema de Schwartz (similar al teorema de representación de Riesz ), toda distribución que no sea negativa en funciones no negativas tiene esta forma para alguna medida de radón (positiva).

Funciones de prueba como distribuciones

Las funciones de prueba son en sí mismas integrables localmente y, por lo tanto, definen distribuciones. El espacio de las funciones de prueba es secuencialmente densa en con respecto a la topología fuerte en ^[29] Esto significa que para cualquier hay una secuencia de funciones de prueba, que converge a (en su topología fuerte dual) cuando se considera como una secuencia de distribuciones. O equivalente, ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle (\phi _{i})_{i=1}^{\infty },}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$

${\displaystyle \langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).}$

Además, también es secuencialmente denso en el fuerte espacio dual de ^[29]${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Distribuciones con soporte compacto

La inclusión natural es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición es también una inyección continua. Por lo tanto, la imagen de la transposición, denotada por, forma un espacio de distribuciones cuando está dotada de la fuerte topología dual de (transferida a ella a través del mapa de transposición, por lo que la topología de es más fina que la topología subespacial de la que este conjunto hereda ). ^[31]${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U),}$${\displaystyle (C^{\infty }(U))'_{b}}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {E}}'(U),}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Los elementos de se pueden identificar como el espacio de distribuciones con soporte compacto. ^[31] Explícitamente, si T es una distribución en U , las siguientes son equivalentes,${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}}$

• ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}'(U)}$;

• el soporte de T es compacto;

• la restricción de que cuando que el espacio está equipado con la topología del subespacio heredado de (una topología más gruesa que la topología LF canónica), es continua; ^[31]${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

• hay un subconjunto compacto K de U tal que para cada función de prueba cuyo soporte está completamente fuera de K , tenemos${\displaystyle \phi }$${\displaystyle T(\phi )=0.}$

Las distribuciones con soporte compacto definen funcionales lineales continuos en el espacio ; Recordamos que la topología en se define de tal manera que una secuencia de funciones de prueba converge a 0 si y sólo si todos los derivados de convergen uniformemente a 0 en cada subconjunto compacto de U . Por el contrario, se puede demostrar que cada funcional lineal continuo en este espacio define una distribución de soporte compacto. Por lo tanto, las distribuciones con soporte compacto se pueden identificar con aquellas distribuciones que se pueden extender de a${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle \phi _{k}}$${\displaystyle \phi _{k}}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Distribuciones de orden finito

Dejemos que la inclusión natural es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición es también una inyección continua. En consecuencia, la imagen de denotada por forma un espacio de distribuciones cuando está dotada de la fuerte topología dual de (transferida a ella a través del mapa de transposición, por lo que la topología es más fina que la topología subespacial de la que este conjunto hereda ). Los elementos de son las distribuciones de orden ≤ k . ^[34] Las distribuciones de orden ≤ 0, que también se denominan distribuciones de orden 0${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} ,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$${\displaystyle (C_{c}^{k}(U))'_{b}}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{m}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)}$, son exactamente las distribuciones que son medidas de radón (descritas anteriormente).

Para una distribución de orden k es una distribución de orden ≤ k que no es una distribución de orden ≤ k - 1 . ^[34]${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} ,}$

Se dice que una distribución es de orden finito si hay algún número entero k tal que sea una distribución de orden ≤ k , y el conjunto de distribuciones de orden finito se denota por Observe que si k ≤ l entonces ese es un subespacio vectorial de y además, si y solo si ^[34]${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U).}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U).}$

Estructura de distribuciones de orden finito

Toda distribución con soporte compacto en U es una distribución de orden finito. ^[34] De hecho, toda distribución en U es localmente una distribución de orden finito, en el siguiente sentido: ^[34] Si V es un subconjunto abierto y relativamente compacto de U y si es el mapeo de restricción de U a V , entonces la imagen de bajo está contenido en${\displaystyle \rho _{VU}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle \rho _{VU}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(V).}$

El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de orden finito, que muestra que toda distribución de orden finito se puede escribir como una suma de derivadas de medidas de radón :

Teorema. ^[34] Suponga que tiene un orden finito ≤ k y Dado cualquier subconjunto abierto V de U que contenga el soporte de T , hay una familia de medidas de radón en U , tal que para muy y${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.}$${\displaystyle (\mu _{p})_{p\in I},}$${\displaystyle p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V}$

${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.}$

Ejemplo. (Distribuciones de orden infinito) Sea U  : = (0, ∞) y para cada función de prueba sea${\displaystyle f,}$

${\displaystyle Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).}$

Entonces S es una distribución de orden infinito en U . Además, S no se puede extender a una distribución en ℝ ; que es, no existe distribución T en ℝ tal que la restricción de T a T es igual a T . ^[63]

Distribuciones templadas y transformada de Fourier

La "distribución moderada" vuelve a dirigir aquí. Para distribuciones templadas en grupos semisimple, consulte Representación templada .

A continuación se definen las distribuciones templadas , que forman un subespacio del espacio de distribuciones en Este es un subespacio adecuado: mientras que cada distribución templada es una distribución y un elemento de la inversa no es cierto. Las distribuciones templadas son útiles si se estudia la transformada de Fourier ya que todas las distribuciones templadas tienen una transformada de Fourier, lo cual no es cierto para una distribución arbitraria en${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).}$

Espacio Schwartz

El espacio de Schwartz , es el espacio de todas las funciones suaves que están disminuyendo rápidamente en el infinito, junto con todos los derivados parciales. Así, en el espacio de Schwartz, siempre que cualquier derivada de multiplicada por cualquier potencia de | x |, converge a 0 cuando | x | → ∞ . Estas funciones forman un TVS completo con una familia de seminormas adecuadamente definida . Más precisamente, para cualquier multiíndice y defina:${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),}$${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )~=~\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.}$

Entonces está en el espacio de Schwartz si todos los valores satisfacen:${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .}$

La familia de seminormas p _{α , β} define una topología localmente convexa en el espacio de Schwartz. Para n = 1, las seminormas son, de hecho, normas en el espacio de Schwartz. También se puede utilizar la siguiente familia de seminormales para definir la topología: ^[64]

${\displaystyle |f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .}$

De lo contrario, se puede definir una norma a través de${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|\phi \|_{k}~=~\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.}$

El espacio de Schwartz es un espacio de Fréchet (es decir, un espacio completamente convexo localmente metrizable ). Debido a que la transformada de Fourier cambia a una multiplicación por y viceversa, esta simetría implica que la transformada de Fourier de una función de Schwartz también es una función de Schwartz.${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$${\displaystyle x^{\alpha }}$

Una secuencia en converge a 0 en si y solo si las funciones convergen a 0 de manera uniforme en el conjunto de lo cual implica que dicha secuencia debe converger a cero en ^[64]${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle (1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$es denso en El subconjunto de todas las funciones analíticas de Schwartz también es denso en . ^{[sesenta y cinco]}${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

El espacio de Schwartz es nuclear y el producto tensorial de dos mapas induce un TVS-isomorfismos sobreyectivos canónicos

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),}$

donde representa la finalización del producto tensorial inyectivo (que en este caso es idéntico a la finalización del producto tensorial proyectivo ). ^[59]${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

Distribuciones templadas

La inclusión natural es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición es también una inyección continua. Por lo tanto, la imagen del mapa de transposición, denotada por, forma un espacio de distribuciones cuando está dotada de la fuerte topología dual de (transferida a él a través del mapa de transposición, por lo que la topología de es más fina que la topología subespacial de la que este conjunto hereda ) .${\displaystyle \operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$${\displaystyle ({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

El espacio se llama el espacio de > distribuciones templado es que es la continua doble del espacio de Schwartz. De manera equivalente, una distribución T es una distribución templada si y solo si${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.}$

La derivada de una distribución templada es nuevamente una distribución templada. Las distribuciones templadas generalizan las funciones integrables localmente limitadas (o de crecimiento lento); todas las distribuciones con soporte compacto y todas las funciones integrables en cuadrado son distribuciones templadas. De manera más general, todas las funciones que son productos de polinomios con elementos de para p ≥ 1 son distribuciones templadas. L p ( R n ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}

Las distribuciones templadas también se pueden caracterizar como de crecimiento lento , lo que significa que cada derivada de T crece como máximo tan rápido como algún polinomio . Esta caracterización es dual al comportamiento de caída rápida de las derivadas de una función en el espacio de Schwartz, donde cada derivada de decae más rápido que cada potencia inversa de | x | . Un ejemplo de una función que cae rápidamente es para cualquier n , λ , β positivo .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })}$

Transformada de Fourier

Para estudiar la transformada de Fourier, es mejor considerar funciones de prueba de valores complejos y distribuciones lineales complejas. La corriente continua transformada de Fourier es una TVS- automorfismo del espacio de Schwartz, y la transformada de Fourier se define como su transpuesta que (notación abusar) de nuevo se denota por F . Entonces, la transformada de Fourier de la distribución templada T está definida por ( FT ) ( ψ ) = T ( Fψ ) para cada función de Schwartz ψ . PIE${\displaystyle F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$es así de nuevo una distribución templada. La transformada de Fourier es un isomorfismo TVS del espacio de distribuciones templadas sobre sí mismo. Esta operación es compatible con la diferenciación en el sentido de que

${\displaystyle F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT}$

y también con convolución: si T es una distribución templada y ψ es una función suave que aumenta lentamente en ψT es nuevamente una distribución templada y${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle F(\psi T)=F\psi *FT}$

es la convolución de FT y Fψ . En particular, la transformada de Fourier de la función constante igual a 1 es la distribución δ .

Expresando distribuciones templadas como sumas de derivadas

Si es una distribución templada, entonces existe una constante C > 0 , y enteros positivos M y N tales que para todas las funciones de Schwartz${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).}$

Esta estimación, junto con algunas técnicas de análisis funcional, se puede utilizar para mostrar que hay una función F continua que aumenta lentamente y un índice múltiple α tal que

${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F.}$

Restricción de distribuciones a conjuntos compactos

Entonces, si para cualquier conjunto compacto existe una función continua F soportada de forma compacta en (posiblemente en un conjunto más grande que el propio K ) y un índice múltiple α tal que en${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K).}$

Uso de funciones holomórficas como funciones de prueba

El éxito de la teoría llevó a la investigación de la idea de hiperfunción , en la que los espacios de funciones holomórficas se utilizan como funciones de prueba. Una teoría refinado ha sido desarrollado, en particular, Mikio Sato 's análisis algebraico , utilizando la teoría de haces y varias variables complejas . Esto amplía la gama de métodos simbólicos que se pueden convertir en matemáticas rigurosas, por ejemplo, integrales de Feynman .

Ver también

• Álgebra de Colombeau
• Actual (matemáticas)
• Distribución (teoría de números)
• Distribución en un grupo algebraico lineal
• Gelfand triple
• Función generalizada
• Distribución homogénea
• Hiperfunción
• Laplaciano del indicador
• Límite de una distribución
• Forma lineal
• Teorema de Malgrange-Ehrenpreis
• Operador pseudodiferencial
• Teorema de representación de Riesz
• Topología vaga
• Solución débil

Notas

1. resulta también lineal y continuo cuando al espacio de las funciones de prueba se le da una cierta topología llamada topología LF canónica .${\displaystyle D_{f}}$
2. El espacio de Schwartz consta de funciones de prueba suaves que disminuyen rápidamente, donde "disminuir rápidamente" significa que la función disminuye más rápido que cualquier polinomio aumenta a medida que los puntos de su dominio se alejan del origen.
3. Excepto por elmapatrivial (es decir, idénticamente 0 ), que por supuesto siempre es analítico.
4. Tenga en cuenta que i es un número entero implicaEsto a veces se expresa comoDado quela desigualdad "" significa:simientras que sientonces significa${\displaystyle i\neq \infty .}$${\displaystyle 0\leq i<k+1.}$${\displaystyle \infty +1=\infty ,}$${\displaystyle 0\leq i<k+1}$${\displaystyle 0\leq i<\infty }$${\displaystyle k=\infty ,}$${\displaystyle k\neq \infty }$${\displaystyle 0\leq i\leq k.}$
5. La imagen del conjunto compactobajo una continuamapa -valued (por ejemplo,para) es en sí mismo un compacto , y por lo tanto limitada, subconjunto deSia continuación, esto implica que cada una de las funciones definidas anteriormente se-valued (es decir, ninguno de los supremums anteriores se siempre igual a).${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle K\neq \varnothing }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \infty }$
6. Si tomamoscomo el conjunto de todos los subconjuntos compactos de U, entonces podemos usar la propiedad universal de los límites directos para concluir que la inclusiónes continua e incluso que son incrustaciones topológicas para cada subconjunto compacto.Sin embargo, si tomamospor el conjunto de cierres de alguna secuencia creciente contable de subconjuntos abiertos relativamente compactos de U que tienen todas las propiedades mencionadas anteriormente en este artículo, inmediatamente deducimos quees un espacio LF estricto localmente convexo de Hausdorff(e incluso un espacio LB estricto Cuándo${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle K\subseteq U.}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle k\neq \infty }$). Todos estos hechos también se pueden probar directamente sin utilizar sistemas directos (aunque con más trabajo).
7. Para cualquier TVS X ( metrizable o no), la noción de completitud depende enteramente de una cierta " uniformidad canónica" que se define utilizando solo la operación de resta (ver el artículo Espacio vectorial topológico completo para más detalles). De esta forma, la noción de un TVS completo no requiere la existencia de ninguna métrica . Sin embargo, si el TVS X es metrizable y si d es cualquier métrica invariante en traducción en X que define su topología, entonces Xestá completo como un TVS (es decir, es un espacio uniforme completo bajo su uniformidad canónica) si y solo si es un espacio métrico completo . Entonces, si un TVS X tiene una topología que se puede definir mediante dicha métrica d, entonces d puede usarse para deducir la completitud de X, pero la existencia de dicha métrica no es necesaria para definir la completitud e incluso es posible deducir que un TVS metrizable está completo sin siquiera considerar una métrica (por ejemplo, dado que el producto cartesiano de cualquier colección de TVS completos es nuevamente un TVS completo, podemos deducir inmediatamente que el TVS${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$que resulta ser metrizable, es un completo TVS; tenga en cuenta que no hubo necesidad de considerar ninguna métrica en ).${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
8. Una razón para darla topología LF canónica es porque es con esta topología quey su espacio dual continuo se convierten en espacios nucleares, que tienen muchas propiedades agradables y que pueden verse como una generalización de espacios de dimensión finita (por comparación, norma los espacios son otra generalización de los espacios de dimensión finita que tienen muchas propiedades "agradables"). Más detalladamente, hay dos clases de espacios vectoriales topológicos (TVS) que son particularmente similares a los espacios euclidianos de dimensión finita : los espacios de Banach (especialmente los espacios de Hilbert ) y los espacios nucleares de Montel.${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ . Los espacios de Montel son una clase de TVS en la que cada subconjunto cerrado y acotado es compacto (esto generaliza el teorema de Heine-Borel ), que es una propiedad que ningún espacio de Banach de dimensión infinita puede tener; es decir, ningún TVS de dimensión infinita puede ser tanto un espacio de Banach como un espacio de Montel. Además, ningún TVS de dimensión infinita puede ser tanto un espacio de Banach como un espacio nuclear. Todos los espacios euclidianos de dimensión finita son espacios nucleares de Montel Hilbert, pero una vez que uno entra en el espacio de dimensión infinita, estas dos clases se separan. Los espacios nucleares, en particular, tienen muchas de las propiedades "agradables" de los TVS de dimensión finita (por ejemplo, el teorema del núcleo de Schwartz) que carecen de los espacios de Banach de dimensión infinita (para más detalles, ver las propiedades, condiciones suficientes y caracterizaciones dadas en el artículo Espacio nuclear ). Es en este sentido que los espacios nucleares son una "generalización alternativa" de los espacios de dimensión finita. Además, como regla general, en la práctica, la mayoría de los televisores "que ocurren naturalmente" suelen ser espacios de Banach o espacios nucleares. Por lo general, la mayoría de los TVS que están asociados con la suavidad (es decir , la diferenciación infinita , como y ) terminan siendo TVS nucleares, mientras que los TVS asociados con la diferenciabilidad continua finita (como con K compact y ) a menudo terminan siendo espacios no nucleares, como Banach. espacios.${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle k\neq \infty }$
9. Aunque la topología deno es metrizable, un funcional lineales continuo si y solo si es secuencialmente continuo.${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$
10. Una secuencia nula es una secuencia que converge al origen.
11. Se dice que una secuencia es Mackey convergente a 0 en si existe una secuencia divergente de número real positivo tal que es un conjunto acotado en${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X.}$
12. Sitambién se dirige bajo la comparación de funciones habitual, entonces podemos considerar que la colección finita consta de un solo elemento.${\displaystyle {\mathcal {P}}}$
13. En el análisis funcional , la topología dual fuerte es a menudo la topología "estándar" o "predeterminada" colocada en el espacio dual continuodonde si X es un espacio normalizado , esta topología dual fuerte es la misma que la topología inducida por normas habitual en${\displaystyle X',}$${\displaystyle X'.}$
14. Técnicamente, la topología debe ser más burda que la topología dual fuerte y al mismo tiempo ser más fina que la topología débil * .
15. Recuerde que un mapa lineal está acotado si y solo si asigna secuencias nulas a secuencias acotadas.
16. Este enfoque también funciona para asignaciones no lineales, siempre que se asuma que son uniformemente continuas .
17. Por ejemplo, supongamosy tomemoscomo la derivada ordinaria para funciones de una variable real y supongamos que el soporte deestá contenido en el intervalo finito,entonces, ya que${\displaystyle U=\mathbb {R} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (a,b),}$${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi )\subseteq (a,b)}$

    ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }\phi '(x)f(x)\,dx&=\int _{a}^{b}\phi '(x)f(x)\,dx\\&=\phi (x)f(x){\big \vert }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\phi (b)f(b)-\phi (a)f(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\end{aligned}}}$

    donde la última igualdad es porque ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)=0.}$
18. Para obtener más información sobre dicha clase de funciones, consulte la entrada sobre funciones integrables localmente .

Referencias

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41. Véase, por ejemplo, Hörmander 1983 , Teorema 6.1.1.
42. Ver Hörmander 1983 , Teorema 6.1.2.
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45. Véase, por ejemplo, Rudin 1991 , §6.29.
46. Trèves , 2006 , Capítulo 27.
47. Hörmander 1983 , §IV.2 demuestra la singularidad de tal extensión.
48. Véase, por ejemplo, Gel'fand y Shilov 1966-1968 , v. 1, págs. 103-104 y Benedetto 1997 , Definición 2.5.8.
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Lectura adicional

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• VS Vladimirov (2002). Métodos de la teoría de funciones generalizadas . Taylor y Francis. ISBN 0-415-27356-0 
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Función generalizada" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Funciones generalizadas, espacio de" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Función generalizada, derivada de a" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Funciones generalizadas, producto de" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Oberguggenberger, Michael (2001) [1994], "Álgebras de funciones generalizadas" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press.