En matemáticas , especialmente en álgebra lineal y teoría de matrices , la matriz de conmutación se utiliza para transformar la forma vectorizada de una matriz en la forma vectorizada de su transposición . Específicamente, la matriz de conmutación K ( m , n ) es la matriz nm × mn que, para cualquier matriz A m × n , transforma vec ( A ) en vec ( A T ):
- K ( m , n ) vec ( A ) = vec ( A T ).
Aquí vec ( A ) es el vector de columna mn × 1 que se obtiene apilando las columnas de A una encima de la otra:
donde A = [ A i , j ].
La matriz de conmutación es un tipo especial de matriz de permutación y, por lo tanto, es ortogonal . Sustitución de A con A T en la definición de los espectáculos de la matriz de conmutación que K ( m , n ) = ( K ( n , m ) ) T . Por tanto, en el caso especial de m = n la matriz de conmutación es una involución y simétrica .
El uso principal de la matriz de conmutación, y la fuente de su nombre, es conmutar el producto de Kronecker : para cada m × n matriz A y cada r × q matriz B ,
Se utiliza mucho en el desarrollo de estadísticas de orden superior de las matrices de covarianza de Wishart. [1]
Una forma explícita para la matriz de conmutación es la siguiente: si e r , j denota el j -ésimo vector canónico de dimensión r (es decir, el vector con 1 en la j -ésima coordenada y 0 en cualquier otro lugar) entonces
Ejemplo
Sea M una matriz cuadrada de 2 × 2.
Entonces nosotros tenemos
Y K (2,2) es la matriz cuadrada de 4 × 4 que transformará vec ( M ) en vec ( M T )
Tanto para matrices cuadradas como rectangulares de m
filas y n
columnas, la matriz de conmutación puede ser generada por este pseudocódigo, que es similar a un artículo en Stack Exchange [2] y de manera demostrable da el resultado correcto aunque se presenta sin prueba.
para i = 1 am para j = 1 an K (yo + metro * (j - 1), j + norte * (yo - 1)) = 1 finalfinal
Por lo tanto, lo siguiente matriz tiene dos vectorizaciones posibles de la siguiente manera:
y el código anterior produce
dando los resultados esperados
Referencias
- ^ von Rosen, Dietrich (1988). "Momentos para la distribución de Wishart invertida". Scand J Estadística . 15 : 97-109.
- ^ "Producto Kronecker y la matriz de conmutación" . Stack Exchange . 2013.
- Jan R. Magnus y Heinz Neudecker (1988), Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en estadística y econometría , Wiley.