Transponer

Matrix operation which flips a matrix over its diagonal

Este artículo trata sobre la transposición de matrices y operadores lineales . Para otros usos, consulte Transposición (desambiguación) .

La transposición A ^T de una matriz A se puede obtener reflejando los elementos a lo largo de su diagonal principal. La repetición del proceso en la matriz transpuesta devuelve los elementos a su posición original.

En álgebra lineal , la transposición de una matriz es un operador que voltea una matriz sobre su diagonal; es decir, cambia los índices de fila y columna de la matriz A produciendo otra matriz, a menudo denotada por A ^T (entre otras notaciones). ^{[1] [2]}

La transposición de una matriz fue introducida en 1858 por el matemático británico Arthur Cayley . ^[3]

Transponer una matriz

Tenga en cuenta que este artículo asume que las matrices se toman sobre un anillo conmutativo. Estos resultados pueden no ser válidos en el caso no conmutativo.

Definición

La transpuesta de una matriz A , denotado por A ^T , ^{[1] [4] ⊤} A , A ^⊤ , , ^{[5] [6]} A ' , ^[7] A ^tr , ^t A o A ^t , puede construirse cualquiera de los siguientes métodos:${\displaystyle A^{\intercal }}$

1. Refleja A sobre su diagonal principal (que va de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) para obtener A ^T ;
2. Escribe las filas de A como columnas de A ^T ;
3. Escribir las columnas de A como las filas de A ^T .

Formalmente, el elemento i -ésima fila, j -ésima columna de A ^T es el elemento j -ésima fila, i -ésima columna de A :

${\displaystyle \left[\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.}$

Si A es una matriz de m × n , entonces A ^T es una matriz de n × m .

En el caso de matrices cuadradas, A ^T también puede denotar la T ésima potencia de la matriz A . Para evitar una posible confusión, muchos autores utilizan upperscripts izquierda, es decir, que denotan la transpuesta como ^T A . Una ventaja de esta notación es que no se necesitan paréntesis cuando hay exponentes involucrados: como ( ^T A ) ⁿ = ^T ( A ⁿ ) , la notación ^T A ⁿ no es ambigua.

En este artículo, esta confusión se evita al no usar nunca el símbolo T como nombre de variable .

Definiciones de matrices que implican la transposición

Una matriz cuadrada cuya transposición es igual a sí misma se llama matriz simétrica ; es decir, A es simétrico si

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .}$

Una matriz cuadrada cuya transposición es igual a su negativo se llama matriz de simetría sesgada ; es decir, A es simétrica sesgada si

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-\mathbf {A} .}$

Una matriz compleja cuadrada cuya transpuesta es igual a la matriz con cada entrada reemplazada por su conjugado complejo (denotado aquí con una línea superior) se llama matriz hermitiana (equivalente a que la matriz sea igual a su transpuesta conjugada ); es decir, A es hermitiano si

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} }}.}$

Una matriz compleja cuadrada cuya transposición es igual a la negación de su conjugado complejo se llama matriz oblicua-hermitiana ; es decir, A es sesgado-hermitiano si

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-{\overline {\mathbf {A} }}.}$

Una matriz cuadrada cuya transposición es igual a su inversa se llama matriz ortogonal ; es decir, A es ortogonal si

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{-1}.}$

Una matriz compleja cuadrada cuya transpuesta es igual a su inversa conjugada se llama matriz unitaria ; es decir, A es unitario si

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}.}$

Ejemplos

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

Propiedades

Sean A y B matrices yc un escalar .

1. ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .}$

   La operación de tomar la transpuesta es una involución (auto inversa ).

2. ${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }+\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }.}$
   La transposición respeta la adición .
3. ${\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.}$
   Tenga en cuenta que el orden de los factores se invierte. De esto se puede deducir que una matriz cuadrada A es invertible si y solo si A ^T es invertible, y en este caso tenemos ( A ⁻¹ ) ^T = ( A ^T ) ⁻¹ . Por inducción, este resultado se extiende al caso general de matrices múltiples, donde encontramos que ( A ₁ A ₂ ... A _{k −1} A _k ) ^T  =  A _k ^T A _{k −1} ^T …A ₂ ^T A ₁ ^T .
4. ${\displaystyle \left(c\mathbf {A} \right)^{\operatorname {T} }=c\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.}$
   La transposición de un escalar es el mismo escalar. Junto con (2), esto establece que la transposición es un mapa lineal desde el espacio de m × n matrices al espacio de todas las n × m matrices.
5. ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)=\det(\mathbf {A} ).}$
   El determinante de una matriz cuadrada es el mismo que el determinante de su transpuesta.
6. El producto escalar de dos columnas vectores de una y b se puede calcular como la única entrada de la matriz producto:
   ${\displaystyle \left[\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right]=\mathbf {a} ^{\operatorname {T} }\mathbf {b} ,}$
   que está escrito como a _i  b ⁱ en la convención de suma de Einstein .
7. Si A solo tiene entradas reales, entonces A ^T A es una matriz semidefinida positiva .
8. ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\operatorname {T} }.}$

   La transpuesta de una matriz invertible también es invertible, y su inversa es la transpuesta de la inversa de la matriz original. La notación A ^−T se usa a veces para representar cualquiera de estas expresiones equivalentes.

9. Si A es una matriz cuadrada, entonces sus autovalores son iguales a los autovalores de su transpuesta, ya que comparten el mismo polinomio característico .

Productos

Si A es un m × n matriz y A ^T es su transpuesta, entonces el resultado de la multiplicación de matrices con estas dos matrices da dos matrices cuadradas: AA ^T es m × m y A ^T A es n × n . Además, estos productos son matrices simétricas . De hecho, el producto de matriz AA ^T tiene entradas que son el producto interior de una fila de A con una columna de A ^T . Pero las columnas deA ^T son las filas de A , por lo que los corresponde de entrada al producto interno de dos filas de A . Si p _{i j} es la entrada del producto, se obtiene de filas i y j en A . La entrada p _{j i} también se obtiene de estas filas, por lo que p _{i j} = p _{j i} , y la matriz del producto ( p _{i j} ) es simétrica. De manera similar, el producto A ^T A es una matriz simétrica.

Una prueba rápida de la simetría de AA ^T resulta del hecho de que es su propia transposición:

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.}$^[8]

Implementation of matrix transposition on computers

See also: In-place matrix transposition

Illustration of row- and column-major order

On a computer, one can often avoid explicitly transposing a matrix in memory by simply accessing the same data in a different order. For example, software libraries for linear algebra, such as BLAS, typically provide options to specify that certain matrices are to be interpreted in transposed order to avoid the necessity of data movement.

However, there remain a number of circumstances in which it is necessary or desirable to physically reorder a matrix in memory to its transposed ordering. For example, with a matrix stored in row-major order, the rows of the matrix are contiguous in memory and the columns are discontiguous. If repeated operations need to be performed on the columns, for example in a fast Fourier transform algorithm, transposing the matrix in memory (to make the columns contiguous) may improve performance by increasing memory locality.

Ideally, one might hope to transpose a matrix with minimal additional storage. This leads to the problem of transposing an n × m matrix in-place, with O(1) additional storage or at most storage much less than mn. For n ≠ m, this involves a complicated permutation of the data elements that is non-trivial to implement in-place. Therefore, efficient in-place matrix transposition has been the subject of numerous research publications in computer science, starting in the late 1950s, and several algorithms have been developed.

Transposes of linear maps and bilinear forms

See also: Transpose of a linear map

Recall that matrices can be placed into a one-to-one correspondence with linear operators. The transpose of a linear operator can be defined without any need to consider a matrix representation of it. This leads to a much more general definition of the transpose that can be applied to linear operators that cannot be represented by matrices (e.g. involving many infinite dimensional vector spaces).

Transpose of a linear map

Main article: Transpose of a linear map

Let X^# denote the algebraic dual space of an R-module X. Let X and Y be R-modules. If u : X → Y is a linear map, then its algebraic adjoint or dual,^[9] is the map ^#u : Y^# → X^# defined by f ↦ f ∘ u. The resulting functional u^#(f) is called the pullback of f by u. The following relation characterizes the algebraic adjoint of u^[10]

⟨u^#(f), x⟩ = ⟨f, u(x)⟩ for all f ∈ Y' and x ∈ X

where ⟨•, •⟩ is the natural pairing (i.e. defined by ⟨z, h⟩ := h(z)). This definition also applies unchanged to left modules and to vector spaces.^[11]

The definition of the transpose may be seen to be independent of any bilinear form on the modules, unlike the adjoint (below).

The continuous dual space of a topological vector space (TVS) X is denoted by X'. If X and Y are TVSs then a linear map u : X → Y is weakly continuous if and only if u^#(Y') ⊆ X', in which case we let ^tu : Y' → X' denote the restriction of u^# to Y'. The map ^tu is called the transpose^[12] of u.

If the matrix A describes a linear map with respect to bases of V and W, then the matrix A^T describes the transpose of that linear map with respect to the dual bases.

Transpose of a bilinear form

Main article: Bilinear form

Every linear map to the dual space u : X → X^# defines a bilinear form B : X × X → F, with the relation B(x, y) = u(x)(y). By defining the transpose of this bilinear form as the bilinear form ^tB defined by the transpose ^tu : X^## → X^# i.e. ^tB(y, x) = ^tu(Ψ(y))(x), we find that B(x, y) = ^tB(y, x). Here, Ψ is the natural homomorphism X → X^## into the double dual.

Adjoint

Not to be confused with Hermitian adjoint.

If the vector spaces X and Y have respectively nondegenerate bilinear forms B_X and B_Y, a concept known as the adjoint, which is closely related to the transpose, may be defined:

If u : X → Y is a linear map between vector spaces X and Y, we define g as the adjoint of u if g : Y → X satisfies

${\displaystyle B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}}$ for all x ∈ X and y ∈ Y.

These bilinear forms define an isomorphism between X and X^#, and between Y and Y^#, resulting in an isomorphism between the transpose and adjoint of u. The matrix of the adjoint of a map is the transposed matrix only if the bases are orthonormal with respect to their bilinear forms. In this context, many authors use the term transpose to refer to the adjoint as defined here.

The adjoint allows us to consider whether g : Y → X is equal to u⁻¹ : Y → X. In particular, this allows the orthogonal group over a vector space X with a quadratic form to be defined without reference to matrices (nor the components thereof) as the set of all linear maps X → X for which the adjoint equals the inverse.

Over a complex vector space, one often works with sesquilinear forms (conjugate-linear in one argument) instead of bilinear forms. The Hermitian adjoint of a map between such spaces is defined similarly, and the matrix of the Hermitian adjoint is given by the conjugate transpose matrix if the bases are orthonormal.

See also

• Adjugate matrix, the transpose of the cofactor matrix
• Conjugate transpose
• Moore–Penrose pseudoinverse
• Projection (linear algebra)

References

1. "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault. 2020-03-25. Retrieved 2020-09-08.
2. Nykamp, Duane. "The transpose of a matrix". Math Insight. Retrieved September 8, 2020.
3. Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17–37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.
4. T.A. Whitelaw (1 April 1991). Introduction to Linear Algebra, 2nd edition. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.
5. "Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)". ProofWiki. Retrieved 4 Feb 2021.
6. "What is the best symbol for vector/matrix transpose?". Stack Exchange. Retrieved 4 Feb 2021.
7. Weisstein, Eric W. "Transpose". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-08.
8. Gilbert Strang (2006) Linear Algebra and its Applications 4th edition, page 51, Thomson Brooks/Cole ISBN 0-03-010567-6
9. Schaefer & Wolff 1999, p. 128.
10. Halmos 1974, §44
11. Bourbaki 1989, II §2.5
12. Trèves 2006, p. 240.

Further reading

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1970]. Algebra I Chapters 1-3 [Algèbre: Chapitres 1 à 3] (PDF). Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156.

• Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3.
• Maruskin, Jared M. (2012). Essential Linear Algebra. San José: Solar Crest. pp. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. pp. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.

External links

• Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra from MIT Open Courseware