Función completamente multiplicativa
En teoría de números , las funciones de números enteros positivos que respetan productos son importantes y se denominan funciones completamente multiplicativas o funciones totalmente multiplicativas . Una condición más débil también es importante, respetando solo productos de números coprimos , y tales funciones se denominan funciones multiplicativas . Fuera de la teoría de números, el término "función multiplicativa" a menudo se considera sinónimo de "función completamente multiplicativa" como se define en este artículo.
Una función completamente multiplicativa (o función totalmente multiplicativa) es una función aritmética (es decir, una función cuyo dominio son los números naturales ), tal que f (1) = 1 y f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) mantiene para todos los números enteros positivos a y b . [1]
Sin el requisito de que f (1) = 1, todavía se podría tener f (1) = 0, pero entonces f ( a ) = 0 para todos los enteros positivos a , por lo que esta no es una restricción muy fuerte.
La definición anterior se puede reformular usando el lenguaje del álgebra: una función completamente multiplicativa es un homomorfismo del monoide (es decir, los enteros positivos bajo multiplicación) a algún otro monoide.
El ejemplo más sencillo de una función completamente multiplicativa es un monomio con coeficiente principal 1: Para cualquier entero positivo particular n , defina f ( a ) = a n . Entonces f ( bc ) = ( bc ) n = b n c n = f ( b ) f ( c ), y f (1) = 1 n = 1.
La función de Liouville es un ejemplo no trivial de una función completamente multiplicativa como lo son los caracteres de Dirichlet , el símbolo de Jacobi y el símbolo de Legendre .