La función Lambda de Liouville , denotada por λ ( n ) y nombrada en honor a Joseph Liouville , es una función aritmética importante . Su valor es +1 si n es el producto de un número par de números primos y −1 si es el producto de un número impar de primos.
Explícitamente, el teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier entero positivo n puede representarse de forma única como un producto de potencias de primos: donde p 1 < p 2 <... < p k son primos y a j son números enteros positivos. (1 viene dado por el producto vacío). Las funciones primos omega cuentan el número de primos, con (Ω) o sin (ω) multiplicidad:
- ω ( n ) = k ,
- Ω ( n ) = a 1 + a 2 + ... + a k .
λ ( n ) se define mediante la fórmula
λ es completamente multiplicativo ya que Ω ( n ) es completamente aditivo , es decir: Ω ( ab ) = Ω ( a ) + Ω ( b ). Como 1 no tiene factores primos, Ω (1) = 0 entonces λ (1) = 1.
Está relacionado con la función de Möbius μ ( n ). Escriba n como n = a 2 b donde b es libre de cuadrados , es decir, ω ( b ) = Ω ( b ). Luego
La suma de la función de Liouville sobre los divisores de n es la función característica de los cuadrados :
La inversión de Moebius de esta fórmula produce
La inversa de Dirichlet de la función de Liouville es el valor absoluto de la función de Möbius,la función característica de los enteros sin cuadrados. Tambien tenemos eso.
Serie
La serie de Dirichlet para la función de Liouville está relacionada con la función zeta de Riemann por
La serie de Lambert para la función de Liouville es
dónde es la función theta de Jacobi .
Conjeturas sobre funciones sumatorias ponderadas
La conjetura de Pólya es una conjetura hecha por George Pólya en 1919. Definiendo
la conjetura establece que para n > 1. Esto resultó ser falso. El contraejemplo más pequeño es n = 906150257, encontrado por Minoru Tanaka en 1980. Desde entonces se ha demostrado que L ( n )> 0.0618672 √ n para infinitos números enteros positivos n , [1] mientras que también se puede mostrar mediante el mismo métodos que L ( n ) <-1,3892783 √ n para infinitos números enteros positivos n . [2]
Para cualquier , asumiendo la hipótesis de Riemann, tenemos que la función sumatoria está delimitado por
donde el es una constante limitante absoluta. [2]
Definir la suma relacionada
Estuvo abierto durante algún tiempo si T ( n ) ≥ 0 para n suficientemente grande ≥ n 0 (esta conjetura se atribuye ocasionalmente, aunque incorrectamente, a Pál Turán ). Esto fue luego refutado por Haselgrove (1958) , quien mostró que T ( n ) toma valores negativos infinitamente a menudo. Una confirmación de esta conjetura de positividad habría llevado a una prueba de la hipótesis de Riemann , como lo demostró Pál Turán .
Generalizaciones
De manera más general, podemos considerar las funciones sumatorias ponderadas sobre la función de Lioville definida para cualquier como sigue para enteros positivos x donde (como arriba) tenemos los casos especiales y [2]
Estas Las funciones sumatorias ponderadas están relacionadas con la función de Mertens , o las funciones sumatorias ponderadas de la función de Moebius . De hecho, tenemos que la llamada función ordinaria o no ponderada corresponde precisamente a la suma
Además, estas funciones satisfacen relaciones asintóticas de delimitación similares. [2] Por ejemplo, siempre que, vemos que existe una constante absoluta tal que
Por una aplicación de la fórmula de Perron , o de manera equivalente por una clave (inversa) transformada de Mellin , tenemos que
que luego se puede invertir a través de la transformada inversa para mostrar que para, y
donde podemos llevar , y con el resto de términos definidos de tal manera que y como .
En particular, si asumimos que la hipótesis de Riemann (RH) es verdadera y que todos los ceros no triviales, denotados por, de la función zeta de Riemann son simples , entonces para cualquier y existe una secuencia infinita de que satisface que para todos v tal que
donde para cualquier cada vez más pequeño definimos
y donde el término restante
que por supuesto tiende a 0 como. Estas expansiones exactas de fórmulas analíticas comparten nuevamente propiedades similares a las correspondientes a los casos de función ponderada de Mertens . Además, dado que tenemos otra similitud en forma de a en la medida en que el término principal dominante en las fórmulas anteriores predice un sesgo negativo en los valores de estas funciones sobre los números naturales positivos x .
Referencias
- ^ Borwein, P .; Ferguson, R .; Mossinghoff, MJ (2008). "Signos de cambios en las sumas de la función de Liouville" . Matemáticas de la Computación . 77 (263): 1681–1694. doi : 10.1090 / S0025-5718-08-02036-X .
- ^ a b c d Humphries, Peter (2013). "La distribución de sumas ponderadas de la función de Liouville y la conjetura de Pólyaʼs". Revista de teoría de números . 133 (2): 545–582. arXiv : 1108.1524 . doi : 10.1016 / j.jnt.2012.08.011 .
- Polya, G. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 28 : 31–40.
- Haselgrove, C. Brian (1958). "Una refutación de una conjetura de Polya". Mathematika . 5 (2): 141-145. doi : 10.1112 / S0025579300001480 . ISSN 0025-5793 . Señor 0104638 . Zbl 0085.27102 .
- Lehman, R. (1960). "Sobre la función de Liouville" . Matemáticas. Comp . 14 (72): 311–320. doi : 10.1090 / S0025-5718-1960-0120198-5 . Señor 0120198 .
- Tanaka, Minoru (1980). "Una investigación numérica sobre la suma acumulada de la función de Liouville" . Diario de Matemáticas de Tokio . 3 (1): 187–189. doi : 10.3836 / tjm / 1270216093 . Señor 0584557 .
- Weisstein, Eric W. "Función de Liouville" . MathWorld .
- AF Lavrik (2001) [1994], "Función de Liouville" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press