En teoría de probabilidad y estadística , una varianza condicional es la varianza de una variable aleatoria dado el valor o valores de una o más de otras variables. Particularmente en econometría , la varianza condicional también se conoce como función escedástica o función escedástica . [1] Las varianzas condicionales son partes importantes de los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva (ARCH).
Definición
La varianza condicional de una variable aleatoria Y dada otra variable aleatoria X es
La varianza condicional nos dice cuánta varianza queda si usamos "predecir" Y . Aquí, como siempre,representa la expectativa condicional de Y dada X , que podemos recordar, es una variable aleatoria en sí misma (una función de X , determinada hasta la probabilidad uno). Como resultado,en sí misma es una variable aleatoria (y es una función de X ).
Explicación, relación con mínimos cuadrados
Recuerde que la varianza es la desviación al cuadrado esperada entre una variable aleatoria (digamos, Y ) y su valor esperado. El valor esperado se puede considerar como una predicción razonable de los resultados del experimento aleatorio (en particular, el valor esperado es la mejor predicción constante cuando las predicciones se evalúan mediante el error de predicción al cuadrado esperado). Por lo tanto, una interpretación de la varianza es que da el error de predicción al cuadrado esperado más pequeño posible. Si tenemos el conocimiento de otra variable aleatoria ( X ) que podemos usar para predecir Y , potencialmente podemos usar este conocimiento para reducir el error al cuadrado esperado. Resulta que la mejor predicción de Y dada X es la expectativa condicional. En particular, para cualquier mensurable,
Seleccionando , el segundo término no negativo se convierte en cero, mostrando la afirmación. Aquí, la segunda igualdad utilizó la ley de la expectativa total . También vemos que la varianza condicional esperado de Y dado X se muestra como el error de predicción irreductible Y dado sólo el conocimiento de X .
Casos especiales, variaciones
Condicionamiento de variables aleatorias discretas
Cuando X adquiere muchos valores contablescon probabilidad positiva, es decir, es una variable aleatoria discreta , podemos introducir, la varianza condicional de Y dado que X = x para cualquier x de S como sigue:
donde recordar eso es la expectativa condicional de Z dado que X = x , que está bien definido para. Una notación alternativa para es
Tenga en cuenta que aquí define una constante para posibles valores de x , y en particular,, no es una variable aleatoria.
La conexión de esta definición con es como sigue: Sea S como arriba y defina la función como . Luego, casi seguro .
Definición usando distribuciones condicionales
La "expectativa condicional de Y dado X = x " también se puede definir de manera más general utilizando la distribución condicional de Y dado X (esto existe en este caso, ya que tanto aquí X como Y son valores reales).
En particular, dejar ser la distribución condicional (regular) de Y dado X , es decir, (la intención es que casi seguramente sobre el soporte de X ), podemos definir
Esto puede, por supuesto, estar especializado cuando Y es discreto en sí mismo (reemplazando las integrales con sumas), y también cuando existe la densidad condicional de Y dada X = x con respecto a alguna distribución subyacente.
Componentes de la varianza
La ley de la varianza total dice
En otras palabras: la varianza de Y es la suma de la varianza condicional esperada Y dado X y la varianza de la expectativa condicional de Y dado X . Las primeras capturas plazo la variación izquierda después de "usar X para predecir Y ", mientras que el segundo capturas plazo la variación debida a la media de la predicción de Y debido a la aleatoriedad de X .
Ver también
Referencias
- ^ Spanos, Aris (1999). "Condicionamiento y regresión". Teoría de la probabilidad e inferencia estadística . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 339–356 [pág. 342]. ISBN 0-521-42408-9.
Otras lecturas
- Casella, George; Berger, Roger L. (2002). Inferencia estadística (Segunda ed.). Wadsworth. págs. 151–52. ISBN 0-534-24312-6.