La proposición en la teoría de la probabilidad conocida como la ley de la expectativa total , [1] la ley de las expectativas iteradas [2] ( MENTIRA ), la regla de la torre , [3] la ley de Adam y el teorema de suavizado , [4] entre otros nombres, afirma que sies una variable aleatoria cuyo valor esperado está definido, y es cualquier variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad , entonces
es decir, el valor esperado de la valor esperado condicional de dado es el mismo que el valor esperado de .
Un caso especial establece que si es una partición finita o contable del espacio muestral , entonces
Nota: El condicional valores esperados E ( X | Z ) es una variable aleatoria cuyo valor dependerá del valor de Z . Tenga en cuenta que el valor esperado condicional de X dado el evento Z = z es una función de z . Si escribimos E ( X | Z = z ) = g ( z ) entonces la variable aleatoria E ( X | Z ) es g ( Z ). Se aplican comentarios similares a la covarianza condicional.
EjemploPrueba en los casos finitos y contablesDeje que las variables aleatorias y , definidos en el mismo espacio de probabilidad, suponen un conjunto finito o numerablemente infinito de valores finitos. Asumir que está definido, es decir . Si es una partición del espacio de probabilidad , luego
Prueba.
Si la serie es finita, entonces podemos cambiar las sumas y la expresión anterior se convertirá en
Si, por el contrario, la serie es infinita, entonces su convergencia no puede ser condicional , debido al supuesto de que La serie converge absolutamente si ambos y son finitos, y divergen hasta el infinito cuando o es infinito. En ambos escenarios, las sumas anteriores pueden intercambiarse sin afectar la suma.
Prueba en el caso generalDejar ser un espacio de probabilidad en el que dos sub σ-álgebras están definidos. Para una variable aleatoria en tal espacio, la ley de suavizado establece que si está definido, es decir , luego
Prueba . Dado que una expectativa condicional es una derivada de Radon-Nikodym , la verificación de las dos propiedades siguientes establece la ley de suavizado:
- - medible
- para todos
La primera de estas propiedades se cumple por definición de la expectativa condicional. Para probar el segundo,
entonces la integral está definido (no es igual ).
Por tanto, la segunda propiedad se mantiene desde implica
Corolario. En el caso especial cuando y , la ley de suavizado se reduce a
Prueba de fórmula de partición
dónde es la función indicadora del conjunto.
Si la partición es finito, entonces, por linealidad, la expresión anterior se convierte en
y hemos terminado.
Sin embargo, si la partición es infinito, entonces usamos el teorema de convergencia dominado para demostrar que
De hecho, para cada ,
Dado que cada elemento del conjunto cae en una partición específica , es sencillo verificar que la secuencia converge puntualmente a. Por suposición inicial,. La aplicación del teorema de la convergencia dominada produce el resultado deseado.
Ver tambiénReferencias