Cono de curvas

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En matemáticas , el cono de curvas (a veces el cono de Kleiman-Mori ) de una variedad algebraica es un invariante combinatorio de importancia para la geometría biracional de . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Sea una variedad adecuada . Por definición, una (real) 1-ciclo en un formales combinación lineal de las curvas irreducibles, reducidos y adecuados , con coeficientes . Equivalencia numérica de 1-ciclos se define por las intersecciones: dos 1-ciclos y son numéricamente equivalentes si para cada Cartier divisor en . Denote el espacio vectorial real de equivalencia numérica de módulo de 1 ciclos por .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C = \ sum a_ {i} C_ {i}}$${\ Displaystyle C_ {i}}$${\ Displaystyle a_ {i} \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle C '}$${\ Displaystyle C \ cdot D = C '\ cdot D}$ ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle N_ {1} (X)}$

Definimos el cono de curvas de ser${\ Displaystyle X}$

donde son curvas irreductibles, reducidas, adecuadas y sus clases en . No es difícil ver que de hecho es un cono convexo en el sentido de geometría convexa.${\ Displaystyle C_ {i}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle [C_ {i}]}$${\ Displaystyle N_ {1} (X)}$${\ displaystyle NE (X)}$

Una aplicación útil de la noción de cono de curvas es la condición de Kleiman , que dice que un divisor (Cartier) en una variedad completa es amplio si y solo si para cualquier elemento distinto de cero en , el cierre del cono de curvas en la forma habitual topología real. (En general, no es necesario que esté cerrado, por lo que es importante tomar el cierre aquí).${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D \ cdot x> 0}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ overline {NE (X)}}}$${\ displaystyle NE (X)}$

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