En geometría algebraica , un morfismo adecuado entre esquemas es análogo a un mapa adecuado entre espacios analíticos complejos .
Algunos autores llaman a una variedad propia sobre un campo k una variedad completa . Por ejemplo, toda variedad proyectiva sobre un campo k es propia sobre k . Un esquema X de tipo finito sobre los números complejos (por ejemplo, una variedad) es propio sobre C si y solo si el espacio X ( C ) de puntos complejos con la topología clásica (euclidiana) es compacto y de Hausdorff .
Una inmersión cerrada es adecuada. Un morfismo es finito si y solo si es propio y cuasi-finito .
Definición
Un morfismo f : X → Y de esquemas se llama universalmente cerrado si para cada esquema Z con un morfismo Z → Y , la proyección del producto de fibra
es un mapa cerrado de los espacios topológicos subyacentes . Un morfismo de esquemas se llama propio si está separado , de tipo finito y universalmente cerrado ([EGA] II, 5.4.1 [1] ). También se dice que X es adecuado sobre Y . En particular, se dice que una variedad X sobre un campo k es apropiada sobre k si el morfismo X → Spec ( k ) es apropiado.
Ejemplos de
Para cualquier número natural n , espacio proyectivo P n sobre un anillo conmutativo R es adecuado sobre R . Los morfismos proyectivos son adecuados, pero no todos los morfismos propios son proyectivos. Por ejemplo, hay una suave compleja variedad apropiada de dimensión 3 que no es proyectiva sobre C . [1] Las variedades afines de dimensión positiva sobre un campo k nunca son adecuadas sobre k . De manera más general, un morfismo afín adecuado de esquemas debe ser finito. [2] Por ejemplo, no es difícil ver que la línea afín A 1 sobre un campo k no es propia sobre k , porque el morfismo A 1 → Spec ( k ) no es universalmente cerrado. De hecho, el morfismo retraído
(dado por ( x , y ) ↦ y ) no es cerrado, porque la imagen del subconjunto cerrado xy = 1 en A 1 × A 1 = A 2 es A 1 - 0, que no está cerrado en A 1 .
Propiedades y caracterizaciones de morfismos propios
En lo siguiente, sea f : X → Y un morfismo de esquemas.
- La composición de dos morfismos propios es adecuada.
- Cualquier cambio de base de un morfismo adecuado f : X → Y es adecuado. Es decir, si g : Z → Y es cualquier morfismo de esquemas, entonces el morfismo resultante X × Y Z → Z es apropiado.
- La propiedad es una propiedad local en la base (en la topología de Zariski). Es decir, si Y está cubierto por algunos subesquemas abiertos Y i y la restricción de f a todo f −1 (Y i ) es adecuada, entonces también lo es f .
- Más claramente, la propiedad es local en la base de la topología fpqc . Por ejemplo, si X es un esquema sobre un campo k y E es una extensión de campo de k , entonces X es adecuado sobre k si y sólo si el cambio de base X E es adecuado sobre E . [3]
- Las inmersiones cerradas son adecuadas.
- De manera más general, los morfismos finitos son adecuados. Ésta es una consecuencia del teorema de la subida .
- Según Deligne , un morfismo de esquemas es finito si y solo si es apropiado y cuasi-finito. [4] Esto había sido demostrado por Grothendieck si el morfismo f : X → Y es localmente de presentación finita , lo que se sigue de los otros supuestos si Y es noetheriano . [5]
- Para X adecuado sobre un esquema de S , y Y separada sobre S , la imagen de cualquier morfismo X → Y sobre S es un subconjunto cerrado de Y . [6] Esto es análogo al teorema en topología de que la imagen de un mapa continuo desde un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un subconjunto cerrado.
- El teorema de factorización de Stein establece que cualquier morfismo adecuado a un esquema localmente noetheriano puede factorizarse como X → Z → Y , donde X → Z es propio, sobreyectivo y tiene fibras conectadas geométricamente, y Z → Y es finito. [7]
- El lema de Chow dice que los morfismos propios están estrechamente relacionados con los morfismos proyectivos . Una versión es: si X es apropiado sobre un esquema cuasi-compacto Y y X solo tiene un número finito de componentes irreductibles (que es automático para Y noetheriano), entonces hay un morfismo sobreyectivo proyectivo g : W → X tal que W es proyectivo sobre Y . Por otra parte, se puede disponer que g es un isomorfismo sobre un subconjunto abierto denso U de X , y que g -1 ( U ) es denso en W . También se puede arreglar que W sea integral si X es integral. [8]
- El teorema de compactación de Nagata , generalizado por Deligne, dice que un morfismo separado de tipo finito entre esquemas cuasi-compactos y cuasi-separados se considera una inmersión abierta seguida de un morfismo adecuado. [9]
- Los morfismos apropiados entre esquemas localmente noetherianos preservan haces coherentes, en el sentido de que las imágenes directas superiores R i f ∗ ( F ) (en particular la imagen directa f ∗ ( F )) de un haz F coherente son coherentes (EGA III, 3.2. 1). (De manera análoga, para un mapa adecuado entre espacios analíticos complejos, Grauert y Remmert demostraron que las imágenes directas superiores conservan haces analíticos coherentes). Como un caso muy especial: el anillo de funciones regulares en un esquema adecuado X sobre un campo k tiene una dimensión finita como un espacio de k -vector. Por el contrario, el anillo de funciones regulares en la línea afín sobre k es el anillo polinomial k [ x ], que no tiene una dimensión finita como un espacio de k -vectores.
- También hay una declaración un poco más fuerte de esto :( EGA III , 3.2.4)ser un morfismo de tipo finito, S localmente noetheriano y a -módulo. Si el soporte de F es adecuado sobre S , entonces para cadala imagen directa más alta es coherente. dejar
- Para un esquema X de tipo finito sobre los números complejos, el conjunto X ( C ) de puntos complejos es un espacio analítico complejo , utilizando la topología clásica (euclidiana). Para X e Y separados y de tipo finito sobre C , un morfismo f : X → Y sobre C es apropiado si y solo si el mapa continuo f : X ( C ) → Y ( C ) es apropiado en el sentido de que la imagen inversa de cada conjunto compacto es compacto. [10]
- Si f : X → Y y g : Y → Z son tales que gf es propio y g está separado, entonces f es propio. Esto se puede probar fácilmente, por ejemplo, utilizando el siguiente criterio.
Criterio valorativo de idoneidad
Hay un criterio de propiedad muy intuitivo que se remonta a Chevalley . Comúnmente se le llama el criterio valorativo de propiedad . Sea f : X → Y un morfismo de tipo finito de esquemas noetherianos . Entonces f es apropiada si y solo si para todos los anillos de valoración discretos R con campo de fracción K y para cualquier punto con valor K x ∈ X ( K ) que se corresponda con un punto f ( x ) que se define sobre R , hay un único elevación de x a. (EGA II, 7.3.8). De manera más general, un morfismo cuasi separado f : X → Y de tipo finito (nota: el tipo finito incluye cuasi-compacto) de * cualquier * esquemas X , Y es apropiado si y solo si para todos los anillos de valoración R con campo de fracción K y para cualquier K -valued punto x ∈ X ( K ) que se asigna a un punto de f ( x ) que se define más de R , hay un ascensor única de x a. (Proyecto de pilas Tags 01KF y 01KY). Teniendo en cuenta que Spec K es el punto genérico de Spec R y que los anillos de valoración discretos son precisamente los anillos unidimensionales locales regulares , se puede reformular el criterio: dada una curva regular en Y (correspondiente al morfismo s : Spec R → Y ) y dada una elevación del punto genérico de esta curva a X , f es adecuada si y solo si hay exactamente una forma de completar la curva.
De manera similar, f se separa si y solo si en cada diagrama de este tipo, hay como máximo una elevación.
Por ejemplo, dado el criterio de valoración, resulta fácil comprobar que el espacio proyectivo P n es adecuado sobre un campo (o incluso sobre Z ). Uno simplemente observa que para un anillo de valoración discreto R con un campo de fracción K , cada punto K [ x 0 , ..., x n ] del espacio proyectivo proviene de un punto R , escalando las coordenadas de modo que todas estén en R y al menos una es una unidad en R .
Interpretación geométrica con discos
Uno de los ejemplos motivadores del criterio valorativo de propiedad es la interpretación de como un disco infinitesimal, o analíticamente complejo, como el disco . Esto se debe al hecho de que todas las series de potencia
converge en algún disco de radio alrededor del origen. Luego, usando un cambio de coordenadas, esto se puede expresar como una serie de potencias en el disco unitario. Entonces, si invertimos, este es el anillo que son las series de potencia que pueden tener un polo en el origen. Esto se representa topológicamente como el disco abierto.con el origen eliminado. Por un morfismo de esquemas sobre, esto viene dado por el diagrama conmutativo
Entonces, el criterio de valoración de la idoneidad sería completar el punto en la imagen de .
Ejemplo
Es instructivo mirar un contraejemplo para ver por qué el criterio valorativo de propiedad debe mantenerse en espacios análogos a las variedades compactas cerradas. Si tomamos y , luego un morfismo factores a través de un gráfico afín de , reduciendo el diagrama a
dónde es el gráfico centrado en en . Esto da el diagrama conmutativo de álgebras conmutativas
Luego, un levantamiento del diagrama de esquemas, , implicaría que hay un morfismo enviando del diagrama conmutativo de álgebras. Esto, por supuesto, no puede suceder. Por lo tanto no es apropiado sobre .
Interpretación geométrica con curvas
Hay otro ejemplo similar del criterio valorativo de propiedad que captura parte de la intuición de por qué este teorema debería ser válido. Considere una curva y el complemento de un punto . Entonces, el criterio de valoración de la propiedad se leería como un diagrama
con un levantamiento de . Geométricamente, esto significa que todas las curvas del esquema.se puede completar a una curva compacta. Este poco de intuición se alinea con lo que la interpretación esquemática-teórica de un morfismo de espacios topológicos con fibras compactas, que una secuencia en una de las fibras debe converger. Debido a que esta situación geométrica es un problema a nivel local, el diagrama se reemplaza mirando el anillo local, que es un DVR, y su campo de fracción . Entonces, el problema de elevación da el diagrama conmutativo
donde el esquema representa un disco local alrededor con el punto cerrado remoto.
Morfismo adecuado de los esquemas formales.
Dejar ser un morfismo entre esquemas formales localmente noetherianos . Decimos que f es apropiado oes apropiado sobresi (i) f es un morfismo ádico (es decir, asigna el ideal de definición al ideal de definición) y (ii) el mapa inducido es apropiado, donde y K es el ideal de definición de( EGA III , 3.4.1) La definición es independiente de la elección de K .
Por ejemplo, si g : Y → Z es un morfismo propio de esquemas localmente noetherianos, Z 0 es un subconjunto cerrado de Z , e Y 0 es un subconjunto cerrado de Y tal que g ( Y 0 ) ⊂ Z 0 , entonces el morfismo sobre terminaciones formales es un morfismo propio de los esquemas formales.
Grothendieck demostró el teorema de coherencia en este escenario. Es decir, dejaser un morfismo adecuado de los esquemas formales localmente noetherianos. Si F es una gavilla coherente en, luego las imágenes directas más altas son coherentes. [11]
Ver también
- Teorema del cambio de base adecuado
- Factorización Stein
Referencias
- ^ Hartshorne (1977), Apéndice B, Ejemplo 3.4.1.
- ^ Liu (2002), Lema 3.3.17.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 02YJ.
- ^ Grothendieck, EGA IV, Parte 4, Corollaire 18.12.4; Proyecto de pilas, etiqueta 02LQ.
- ^ Grothendieck, EGA IV, Parte 3, Théorème 8.11.1.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01W0.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 03GX.
- ^ Grothendieck, EGA II, Corollaire 5.6.2.
- ^ Conrad (2007), Teorema 4.1.
- ^ SGA 1 , XII Proposición 3.2.
- ^ Grothendieck, EGA III, Parte 1, Théorème 3.4.2.
- Conrad, Brian (2007), "Notas de Deligne sobre las compactaciones de Nagata" (PDF) , Journal of the Ramanujan Mathematical Society , 22 : 205–257, MR 2356346
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. doi : 10.1007 / bf02699291 . Señor 0217084 ., sección 5.3. (definición de propiedad), sección 7.3. (criterio valorativo de idoneidad)
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Elementos de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 : 5-167. doi : 10.1007 / bf02684274 . Señor 0217085 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255. doi : 10.1007 / bf02684343 . Señor 0217086 ., sección 15.7. (generalizaciones de criterios de valoración a esquemas no necesariamente noetherianos)
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5-361. doi : 10.1007 / bf02732123 . Señor 0238860 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Liu, Qing (2002), geometría algebraica y curvas aritméticas , Oxford: Oxford University Press , ISBN 9780191547805, Señor 1917232
enlaces externos
- VI Danilov (2001) [1994], "Morfismo apropiado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Autores del proyecto Stacks, Proyecto Stacks