Curva de contrato

Curva azul de puntos eficientes de Pareto, en puntos de tangencia de curvas de indiferencia en una caja de Edgeworth . Si las asignaciones iniciales de los dos bienes están en un punto que no se encuentra en este locus, entonces las dos personas pueden intercambiar a un punto en el locus eficiente dentro de la lente formada por las curvas de indiferencia en las que estaban originalmente. El conjunto de todos estos puntos eficientes con los que se puede negociar es la curva de contrato.
En el siguiente gráfico, las dotaciones iniciales de las dos personas se encuentran en el punto X, en la curva de indiferencia K _{1 de} Kelvin y la curva de indiferencia J _{1 de} Jane. Desde allí podrían acordar un intercambio de beneficio mutuo a cualquier parte del lente formado por estas curvas de indiferencia. Pero los únicos puntos desde los que no existe un comercio mutuamente beneficioso son los puntos de tangencia entre las curvas de indiferencia de dos personas, como el punto E. La curva de contrato es el conjunto de estas tangencias de curvas de indiferencia dentro de la lente: es una curva que se inclina hacia arriba a la derecha y pasa por el punto E.

En microeconomía , la curva de contrato es el conjunto de puntos que representan las asignaciones finales de dos bienes entre dos personas que podrían ocurrir como resultado de un comercio mutuamente beneficioso entre esas personas, dadas sus asignaciones iniciales de los bienes. Todos los puntos en este locus son asignaciones Pareto eficientes , lo que significa que desde cualquiera de estos puntos no hay reasignación que pueda hacer que una de las personas esté más satisfecha con su asignación sin hacer que la otra persona esté menos satisfecha. La curva de contrato es el subconjunto de los puntos de eficiencia de Pareto que podrían alcanzarse mediante el comercio de las tenencias iniciales de los dos bienes por parte de la gente. Está dibujado en la caja de Edgeworth.diagrama que se muestra aquí, en el que la asignación de cada persona se mide verticalmente para un bien y horizontalmente para el otro bien desde el origen de esa persona (punto de asignación cero de ambos bienes); el origen de una persona es la esquina inferior izquierda del cuadro de Edgeworth, y el origen de la otra persona es la esquina superior derecha del cuadro. Las dotaciones iniciales de las personas (asignaciones iniciales de los dos bienes) están representadas por un punto en el diagrama; las dos personas intercambiarán bienes entre sí hasta que no sean posibles más intercambios mutuamente beneficiosos. El conjunto de puntos en los que conceptualmente es posible que se detengan son los puntos de la curva del contrato.

Sin embargo, la mayoría de los autores ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]} identifican la curva de contrato como el locus Pareto eficiente completo de un origen a otro.

Cualquier equilibrio walrasiano se encuentra en la curva de contrato. Como con todos los puntos que son Pareto eficientes , cada punto en la curva de contrato es un punto de tangencia entre una curva de indiferencia de una persona y una curva de indiferencia de la otra persona. Por tanto, en la curva del contrato, la tasa marginal de sustitución es la misma para ambas personas.

Ejemplo

Suponga la existencia de una economía con dos agentes, Octavio y Abby, que consumen dos bienes X e Y de los cuales hay suministros fijos, como se ilustra en el diagrama de caja de Edgeworth anterior. Además, suponga una distribución inicial (dotación) de los bienes entre Octavio y Abby y deje que cada uno tenga preferencias normalmente estructuradas (convexas) representadas por curvas de indiferencia.que son convexos hacia los respectivos orígenes de las personas. Si la asignación inicial no está en un punto de tangencia entre una curva de indiferencia de Octavio y una de Abby, entonces esa asignación inicial debe estar en un punto donde una curva de indiferencia de Octavio cruza una de Abby. Estas dos curvas de indiferencia forman una lente, con la asignación inicial en una de las dos esquinas de la lente. Octavio y Abby elegirán realizar intercambios mutuamente beneficiosos, es decir, intercambiarán hasta un punto que esté en una mejor curva de indiferencia (más alejada del origen) para ambos. Tal punto estará en el interior de la lente, y la tasa a la que se intercambiará un bien por otro estará entre la tasa marginal de sustitución de Octavio y la de Abby. Dado que los intercambios siempre proporcionarán a cada persona más de un bien y menos del otro,el comercio da como resultado un movimiento hacia arriba y hacia la izquierda, o hacia abajo y hacia la derecha, en el diagrama.

Las dos personas continuarán comerciando siempre que la tasa marginal de sustitución de cada uno (el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia de la persona en ese punto) difiera de la de la otra persona en la asignación actual (en cuyo caso habrá una relación de intercambio mutuamente aceptable de un bien por otro, entre las diferentes tasas marginales de sustitución). En un punto en el que la tasa marginal de sustitución de Octavio es igual a la tasa marginal de sustitución de Abby, ya no es posible un intercambio mutuamente beneficioso. Este punto se llama equilibrio Pareto eficiente . En el cuadro de Edgeworth, es un punto en el que la curva de indiferencia de Octavio es tangente a la curva de indiferencia de Abby, y está dentro de la lente formada por sus asignaciones iniciales.

Por lo tanto, la curva de contrato, el conjunto de puntos en los que Octavio y Abby podrían terminar, es la sección del locus eficiente de Pareto que se encuentra en el interior de la lente formada por las asignaciones iniciales. El análisis no puede decir en qué punto particular de la curva del contrato terminarán; esto depende de las habilidades de negociación de las dos personas.

Explicación matemática

En el caso de dos bienes y dos individuos, la curva del contrato se puede encontrar de la siguiente manera. Aquí se refiere a la cantidad final del bien 2 asignado a la persona 1, etc., y se refiere a los niveles finales de utilidad experimentados por la persona 1 y la persona 2 respectivamente, se refiere al nivel de utilidad que la persona 2 recibiría de la asignación inicial sin comercio en absoluto, y y se refieren a las cantidades totales fijas disponibles de los bienes 1 y 2, respectivamente.${\displaystyle x_{2}^{1}}$${\displaystyle u^{1}}$${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u_{0}^{2}}$${\displaystyle \omega _{1}^{tot}}$${\displaystyle \omega _{2}^{tot}}$

${\displaystyle \max _{x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{1}^{2},x_{2}^{2}}u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})}$

sujeto a:

${\displaystyle x_{1}^{1}+x_{1}^{2}\leq \omega _{1}^{tot}}$

${\displaystyle x_{2}^{1}+x_{2}^{2}\leq \omega _{2}^{tot}}$

${\displaystyle u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})\geq u_{0}^{2}}$

Este problema de optimización establece que los bienes deben distribuirse entre las dos personas de tal manera que no se asigne más de la cantidad disponible de cada bien a las dos personas combinadas, y la utilidad de la primera persona debe ser lo más alta posible mientras hacer que la utilidad de la segunda persona no sea menor que en la asignación inicial (para que la segunda persona no se niegue a comerciar desde la asignación inicial hasta el punto encontrado); esta formulación del problema encuentra un punto Pareto eficiente en la lente, lo más lejos posible del origen de la persona 1. Este es el punto que se lograría si la persona 1 tuviera todo el poder de negociación. (De hecho, para crear al menos un pequeño incentivo para que la persona 2 acceda a comerciar con el punto identificado, el punto tendría que estar ligeramente dentro de la lente).

Para trazar la curva de contrato completa, el problema de optimización anterior se puede modificar de la siguiente manera. Maximizar un promedio ponderado de las utilidades de las personas 1 y 2, con ponderaciones by 1 - b , sujeto a las restricciones de que las asignaciones de cada bien no excedan su oferta y sujeto a las restricciones de que las utilidades de ambas personas sean al menos tan grandes como sus utilidades en las dotaciones iniciales:

${\displaystyle \max _{x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{1}^{2},x_{2}^{2}}b\cdot u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})+(1-b)\cdot u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})}$

sujeto a:

${\displaystyle x_{1}^{1}+x_{1}^{2}\leq \omega _{1}^{tot}}$

${\displaystyle x_{2}^{1}+x_{2}^{2}\leq \omega _{2}^{tot}}$

${\displaystyle u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})\geq u_{0}^{1}}$

${\displaystyle u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})\geq u_{0}^{2}}$

¿Dónde está la utilidad que experimentaría la persona 1 en ausencia de negociación fuera de la dotación inicial? Al variar el parámetro de ponderación b , se puede trazar la curva de contrato completa: si b = 1 el problema es el mismo que el problema anterior, e identifica un punto eficiente en un borde de la lente formado por las curvas de indiferencia del problema inicial. dotación; si b = 0, todo el peso está en la utilidad de la persona 2 en lugar de la persona 1, por lo que la optimización identifica el punto eficiente en el otro borde de la lente. Como b varía suavemente entre estos dos extremos, se trazan todos los puntos intermedios de la curva de contrato.${\displaystyle u^{1}}$

Tenga en cuenta que las optimizaciones anteriores no son aquellas en las que las dos personas realmente participarían, ya sea explícita o implícitamente. En cambio, estas optimizaciones son simplemente una forma para que el economista identifique puntos en la curva del contrato.

Ver también

• Economía del bienestar
• Lista de temas económicos

Referencias

1. Varian, Hal R. Análisis microeconómico , tercera edición, 1992, página 324.
2. Nicholson, Walter. Snyder, Christopher. "Microeconomía intermedia y su aplicación", undécima edición, 2010, página 362.
3. Pindyke, Robert S. Rubinfeld, Daniel L. "Microeconomics", novena edición, 2018, página 620.
4. Jehle, Geoffrey L. Reny, Philip J. "Advanced Microeconomic Theory", tercera edición, 2011, página 197.
5. Perloff Jeffrey M. "Microeconomía, teoría y aplicaciones con cálculo", quinta edición, página 338.
6. Browning, Edgar K. Zupan, Mark, A. "Microeconomía, teoría y aplicaciones", duodécima edición, 2015, página 148.
7. Kreps, David M. "Un curso de teoría microeconómica", 1990, página 156.
8. Serrano, Roberto. Feldman, Alan M. "Un curso corto en microeconomía intermedia con cálculo", 2013, página 271.

• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D .; Y Green, Jerry (1995). Teoría microeconómica . Nueva York: Oxford University Press. ISBN  0-19-510268-1