La aproximación de Coopmans es un método para aproximar un integrador de orden fraccionario en un proceso continuo con una complejidad espacial constante . Los métodos más correctos y precisos para calcular la integral fraccional requieren un registro de todo el historial anterior y, por lo tanto, requerirían una solución de complejidad espacial lineal O ( n ), donde n es el número de muestras medidas para el historial completo.
El fractor (condensador fraccional) es un componente analógico útil en los sistemas de control . Para modelar el comportamiento de los componentes en una simulación digital, o reemplazar el fractor en un controlador digital, una solución lineal es insostenible. Sin embargo, para reducir la complejidad del espacio, es necesario perder información de alguna manera.
La aproximación de Coopmans es un método simple y robusto que utiliza una convolución simple para calcular la integral fraccional y luego recicla los datos antiguos a través de la convolución. La convolución establece una tabla de ponderación como se describe en el cálculo fraccional , que varía según el tamaño de la tabla, la frecuencia de muestreo del sistema y el orden de la integral. Una vez calculada, la tabla de ponderación permanece estática.
La tabla de datos se inicializa como todos ceros, lo que representa una falta de actividad durante todo el tiempo anterior. Los datos nuevos se agregan al búfer de datos en forma de búfer de anillo, de modo que el punto más nuevo se escribe sobre el punto de datos más antiguo. La convolución se resuelve multiplicando los elementos correspondientes de las tablas de peso y datos y sumando los productos resultantes. Como se describe, la pérdida de los datos antiguos al sobrescribirlos con datos nuevos provocará ecos en un sistema continuo, ya que las perturbaciones que fueron absorbidas por el sistema se eliminarán repentinamente.
La solución a esto es el quid de la aproximación de Coopmans, donde el punto de datos antiguo, multiplicado por su término de ponderación correspondiente, se agrega directamente al punto de datos más nuevo. Esto permite una disminución suave (aunque exponencial, en lugar de la ley de potencia) del historial del sistema. Esta aproximación tiene el efecto deseable de eliminar el eco, preservando al mismo tiempo la complejidad espacial de la solución.
El efecto negativo de la aproximación es que el carácter de fase de la solución se pierde cuando la frecuencia del sistema se acerca a DC. Sin embargo, se garantiza que todos los sistemas digitales sufrirán este defecto, ya que todos los sistemas digitales tienen memoria finita y, por lo tanto, fallarán a medida que el requisito de memoria se acerque al infinito.