Un integrador de orden fraccionario o simplemente un integrador fraccionario es un dispositivo integrador que calcula la integral o derivada de orden fraccionario (generalmente llamada integral diferencial ) de una entrada. La diferenciación o integración es un parámetro real o complejo. El integrador fraccional es útil en el control de orden fraccionario donde el historial del sistema bajo control es importante para la salida del sistema de control.
Descripción general
La función diferente integral,
incluye las funciones de integración y diferenciación de orden de enteros, y permite una gama continua de funciones a su alrededor. Los diferentes parámetros integrales son a , t y q . Los parámetros de una y t describen el rango sobre el que para calcular el resultado. El parámetro integral q diferente puede ser cualquier número real o número complejo. Si q es mayor que cero, la diferencia integral calcula una derivada. Si q es menor que cero, la integral diferencial calcula una integral. La integración de orden entero se puede calcular como un diferencial integral de Riemann-Liouville , donde el peso de cada elemento en la suma es el valor unitario constante 1, que es equivalente a la suma de Riemann . Para calcular una derivada de orden entero, los pesos en la suma serían cero, con la excepción de los puntos de datos más recientes, donde (en el caso de la primera derivada unitaria) el peso del punto de datos en t - 1 es −1 y el peso del punto de datos en t es 1. La suma de los puntos en la función de entrada que usa estos pesos da como resultado la diferencia de los puntos de datos más recientes. Estos pesos se calculan usando razones de la función Gamma que incorporan el número de puntos de datos en el rango [ a , t ] y el parámetro q .
Dispositivos digitales
Los dispositivos digitales tienen la ventaja de ser versátiles y no son susceptibles a variaciones de salida inesperadas debido al calor o al ruido. Sin embargo, la naturaleza discreta de una computadora no permite que se calcule todo el historial. Debe existir algún rango finito [a, t]. Por lo tanto, el número de puntos de datos que se pueden almacenar en la memoria ( N ) determina el punto de datos más antiguo en la memoria, de modo que el valor a nunca tiene más de N muestras. El efecto es que cualquier historial anterior a a se olvida por completo y ya no influye en la salida.
Una solución a este problema es la aproximación de Coopmans , que permite que los datos antiguos se olviden con más gracia (aunque todavía con un decaimiento exponencial, en lugar de con el decaimiento de la ley de potencia de un dispositivo puramente analógico ).
Dispositivos analógicos
Los dispositivos analógicos tienen la capacidad de retener el historial durante intervalos más largos. Esto se traduce en que el parámetro a permanece constante, mientras que t aumenta.
No hay error por redondeo , como en el caso de los dispositivos digitales, pero puede haber un error en el dispositivo debido a fugas , y también variaciones inesperadas en el comportamiento causadas por el calor y el ruido.
Un ejemplo de integrador de orden fraccionario es una modificación del circuito integrador estándar , donde se usa un capacitor como impedancia de retroalimentación en un amplificador operacional . Reemplazando el capacitor con un circuito RC Ladder , un integrador de medio orden, es decir, con
se puede construir.