La expansión Cornish-Fisher es una expansión asintótica que se utiliza para aproximar los cuantiles de una distribución de probabilidad basada en sus acumulados . [1] [2] [3] [4]
Lleva el nombre de EA Cornish y RA Fisher , quienes describieron por primera vez la técnica en 1937. [1]
Definición
Para una variable aleatoria X con media μ, varianza σ² y acumulados κ n , su valor y p en el cuantil p se puede estimar comodonde: [3]
donde He n es el n- ésimo polinomio de Hermite de probabilistas . Los valores γ 1 y γ 2 son la asimetría de la variable aleatoria y la curtosis (en exceso), respectivamente. Los valores en cada conjunto de corchetes son los términos para ese nivel de estimación polinomial, y todos deben calcularse y combinarse para que la expansión Cornish-Fisher en ese nivel sea válida.
Ejemplo
Sea X una variable aleatoria con media 10, varianza 25, sesgo 5 y exceso de curtosis de 2. Podemos usar los dos primeros términos entre corchetes anteriores, que dependen sólo del sesgo y la curtosis, para estimar los cuantiles de esta variable aleatoria. Para el percentil 95, el valor para el cual la función de distribución acumulada normal estándar es 0,95 es 1,644854, que será x . El peso w se puede calcular como:
o alrededor de 2.55621. Entonces, el percentil 95 estimado de X es 10 + 5 × 2.55621 o aproximadamente 22.781. A modo de comparación, el percentil 95 de una variable aleatoria normal con media 10 y varianza 25 sería aproximadamente 18,224; tiene sentido que la variable aleatoria normal tiene una 95a inferior percentil valor, como la distribución normal no tiene kurtosis skew o exceso, y así tiene una cola más delgada que la variable aleatoria X .
Referencias
- ^ a b Cornualles, EA; Fisher, Ronald A. (1938). "Momentos y acumulaciones en la especificación de distribuciones" (PDF) . Revue de l'Institut International de Statistique / Revista del Instituto Internacional de Estadística . 5 (4): 307–320. doi : 10.2307 / 1400905 . hdl : 2440/15229 . JSTOR 1400905 .
- ^ Fisher, Ronald A .; Cornish, EA (1960). "Los puntos percentiles de las distribuciones con acumuladores conocidos" (PDF) . Tecnometría . 2 (2): 209–225. doi : 10.2307 / 1266546 . hdl : 2440/15277 . JSTOR 1266546 .
- ^ a b Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene (1964). "26. Funciones de probabilidad" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Publicaciones de Dover . pag. 935 . Consultado el 17 de septiembre de 2014 .
- ^ Martin, Douglas; Arora, Rohit (2017). "Ineficiencia y sesgo de valor en riesgo modificado y déficit esperado". Revista de riesgo . 19 (6): 59–84. doi : 10.21314 / JOR.2017.365 .