En matemáticas , una expansión asintótica , serie asintótica o expansión de Poincaré (después de Henri Poincaré ) es una serie formal de funciones que tiene la propiedad de que truncar la serie después de un número finito de términos proporciona una aproximación a una función dada como argumento de la función. tiende hacia un punto particular, a menudo infinito. Las investigaciones de Dingle (1973) revelaron que la parte divergente de una expansión asintótica tiene un significado latente, es decir, contiene información sobre el valor exacto de la función expandida.
El tipo más común de expansión asintótica es una serie de potencias en potencias positivas o negativas. Los métodos para generar tales expansiones incluyen la fórmula de suma de Euler-Maclaurin y transformadas integrales como las transformadas de Laplace y Mellin . La integración repetida por partes a menudo conducirá a una expansión asintótica.
Dado que una serie de Taylor convergente también se ajusta a la definición de expansión asintótica, la frase "serie asintótica" generalmente implica una serie no convergente . A pesar de la no convergencia, la expansión asintótica es útil cuando se trunca a un número finito de términos. La aproximación puede proporcionar beneficios al ser más manejable matemáticamente que la función que se expande, o al aumentar la velocidad de cálculo de la función expandida. Normalmente, la mejor aproximación se da cuando la serie se trunca en el término más pequeño. Esta forma de truncar de manera óptima una expansión asintótica se conoce como superasintóticas . [1] El error es típicamente de la forma ~ exp (- c / ε) donde ε es el parámetro de expansión. Por tanto, el error está más allá de todos los pedidos en el parámetro de expansión. Es posible mejorar el error superasintótico, por ejemplo, empleando métodos de reanimación como la reanimación de Borel en la cola divergente. Estos métodos se denominan a menudo aproximaciones hiperasintóticas .
Consulte el análisis asintótico y la notación O grande para la notación utilizada en este artículo.
Definicion formal
Primero definimos una escala asintótica y luego damos la definición formal de una expansión asintótica.
Si es una secuencia de funciones continuas en algún dominio, y si L es un punto límite del dominio, entonces la secuencia constituye una escala asintótica si para cada n ,
( L puede tomarse como infinito). En otras palabras, una secuencia de funciones es una escala asintótica si cada función en la secuencia crece estrictamente más lenta (en el límite) que la función anterior.
Si f es una función continua en el dominio de la escala asintótica, entonces f tiene una expansión asintótica de orden N con respecto a la escala como serie formal
Si
o
Si uno u otro es válido para todos los N , escribimos [ cita requerida ]
En contraste con una serie convergente para , donde la serie converge para cualquier fijo en el limite , uno puede pensar en la serie asintótica como convergente para fijos en el limite (con posiblemente infinito).
Ejemplos de
- dónde son números de Bernoulli y es un factorial en alza . Esta expansión es válida para todos los complejos sy se usa a menudo para calcular la función zeta usando un valor suficientemente grande de N , por ejemplo .
- donde (2 n - 1) !! es el factorial doble .
Ejemplo resuelto
Las expansiones asintóticas a menudo ocurren cuando se usa una serie ordinaria en una expresión formal que fuerza la toma de valores fuera de su dominio de convergencia . Así, por ejemplo, se puede comenzar con la serie ordinaria
La expresión de la izquierda es válida en todo el plano complejo. , mientras que el lado derecho converge solo para . Multiplicar por e integrando ambos lados rinde
después de la sustitución en el lado derecho. La integral del lado izquierdo, entendida como un valor principal de Cauchy , se puede expresar en términos de la integral exponencial . La integral del lado derecho puede reconocerse como la función gamma . Evaluando ambos, se obtiene la expansión asintótica
Aquí, el lado derecho claramente no es convergente para ningún valor distinto de cero de t . Sin embargo, al truncar la serie de la derecha a un número finito de términos, se puede obtener una aproximación bastante buena al valor depara t suficientemente pequeño . Sustituyendo y notando que da como resultado la expansión asintótica dada anteriormente en este artículo.
Propiedades
Singularidad para una escala asintótica dada
Para una escala asintótica dada la expansión asintótica de la función es único. [2] Esos son los coeficientes se determinan unívocamente de la siguiente manera:
dónde es el punto límite de esta expansión asintótica (puede ser ).
No unicidad para una función determinada
Una función dada puede tener muchas expansiones asintóticas (cada una con una escala asintótica diferente). [2]
Subdominio
Una expansión asintótica puede ser una expansión asintótica a más de una función. [2]
Ver también
Campos relacionados
Métodos asintóticos
Notas
- ^ Boyd, John P. (1999), "La invención del diablo: series asintóticas, superasintóticas e hiperasintóticas" (PDF) , Acta Applicandae Mathematicae , 56 (1): 1-98, doi : 10.1023 / A: 1006145903624 , hdl : 2027.42 / 41670.
- ^ a b c S.JA Malham, " Introducción al análisis asintótico ", Universidad Heriot-Watt .
Referencias
- Ablowitz, MJ y Fokas, AS (2003). Variables complejas: introducción y aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge .
- Bender, CM y Orszag, SA (2013). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros I: Métodos asintóticos y teoría de perturbaciones . Springer Science & Business Media .
- Bleistein, N., Handelsman, R. (1975), Expansiones asintóticas de integrales , Publicaciones de Dover .
- Carrier, GF, Krook, M. y Pearson, CE (2005). Funciones de una variable compleja: teoría y técnica . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas .
- Copson, ET (1965), Expansiones asintóticas , Cambridge University Press .
- Dingle, RB (1973), Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación , Academic Press.
- Erdélyi, A. (1955), Expansiones asintóticas , Publicaciones de Dover .
- Fruchard, A., Schäfke, R. (2013), Expansiones asintóticas compuestas , Springer.
- Hardy, GH (1949), Serie divergente , Oxford University Press .
- Olver, F. (1997). Asintóticas y funciones especiales . AK Peters / CRC Press.
- París, RB, Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press .
- Whittaker, ET , Watson, GN (1963), A Course of Modern Analysis , cuarta edición, Cambridge University Press .
enlaces externos
- "Expansión asintótica" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Wolfram Mathworld: Serie asintótica