El momento dipolar eléctrico es una medida de la separación de cargas eléctricas positivas y negativas dentro de un sistema, es decir, una medida de la polaridad general del sistema . Las unidades SI para el momento dipolar eléctrico son coulomb - metro (C⋅m); sin embargo, una unidad de uso común en física y química atómica es el debye (D).
Teóricamente, un dipolo eléctrico se define por el término de primer orden de la expansión multipolar ; consta de dos cargas iguales y opuestas que están infinitesimalmente juntas, aunque los dipolos reales tienen cargas separadas. [1]
Definición elemental
A menudo, en física, las dimensiones de un objeto masivo pueden ignorarse y pueden tratarse como un objeto puntual, es decir, una partícula puntual . Las partículas puntuales con carga eléctrica se denominan cargas puntuales . Dos cargas puntuales, una con carga + q y la otra con carga - q separadas por una distancia d , constituyen un dipolo eléctrico (un caso simple de un multipolo eléctrico ). Para este caso, el momento dipolar eléctrico tiene una magnitud
y se dirige de la carga negativa a la positiva. Algunos autores pueden dividir d por la mitad y usar s = d / 2 ya que esta cantidad es la distancia entre la carga y el centro del dipolo, lo que lleva a un factor de dos en la definición.
Una definición matemática más sólida es usar álgebra vectorial , ya que una cantidad con magnitud y dirección, como el momento dipolar de dos cargas puntuales, se puede expresar en forma vectorial.
donde d es el vector de desplazamiento que apunta desde la carga negativa a la carga positiva. El vector de momento dipolar eléctrico p también apunta desde la carga negativa a la carga positiva.
Una idealización de este sistema de dos cargas es el dipolo de punto eléctrico que consta de dos (infinitas) cargas solo infinitesimalmente separadas, pero con un p finito . Esta cantidad se utiliza en la definición de densidad de polarización .
Energía y par
Un objeto con un momento dipolar eléctrico está sujeto a un par de torsión τ cuando se coloca en un campo eléctrico externo. El par tiende a alinear el dipolo con el campo. Un dipolo alineado en paralelo a un campo eléctrico tiene menor energía potencial que un dipolo que forma algún ángulo con él. Para un campo eléctrico espacialmente uniforme E , la energía U y el parestán dados por [2]
donde p es el momento dipolar y el símbolo "×" se refiere al producto cruzado vectorial . El vector de campo y el vector dipolo definen un plano, y el par se dirige perpendicular a ese plano con la dirección dada por la regla de la mano derecha .
Un dipolo orientado co o anti-paralelo a la dirección en la que un campo eléctrico no uniforme está aumentando (gradiente del campo) experimentará un par, así como una fuerza en la dirección de su momento dipolar. Se puede demostrar que esta fuerza siempre será paralela al momento dipolar independientemente de la orientación co o antiparalela del dipolo.
Expresión (caso general)
De manera más general, para una distribución continua de carga limitada a un volumen V , la expresión correspondiente para el momento dipolar es:
donde r localiza el punto de observación y d 3 r 0 denota un volumen elemental en V . Para una matriz de cargas puntuales, la densidad de carga se convierte en la suma de las funciones delta de Dirac :
donde cada r i es un vector desde algún punto de referencia a la carga q i . La sustitución en la fórmula de integración anterior proporciona:
Esta expresión es equivalente a la expresión anterior en el caso de neutralidad de carga y N = 2. Para dos cargas opuestas, denota la ubicación de la carga positiva del par como r + y la ubicación de la carga negativa como r - :
mostrando que el vector de momento dipolar se dirige desde la carga negativa a la carga positiva porque el vector de posición de un punto se dirige hacia afuera desde el origen hasta ese punto.
El momento dipolar es particularmente útil en el contexto de un sistema global de cargas neutrales, por ejemplo, un par de cargas opuestas, o un conductor neutro en un campo eléctrico uniforme. Para tal sistema de cargas, visualizado como una matriz de cargas opuestas emparejadas, la relación para el momento dipolar eléctrico es:
donde r es el punto de observación, y d i = r ' i - r i , siendo r i la posición de la carga negativa en el dipolo i , y r ' i la posición de la carga positiva. Esta es la suma vectorial de los momentos dipolares individuales de los pares de carga neutra. (Debido a la neutralidad de la carga general, el momento dipolar es independiente de la posición r del observador ). Por lo tanto, el valor de p es independiente de la elección del punto de referencia, siempre que la carga total del sistema sea cero.
Cuando se habla del momento dipolar de un sistema no neutro, como el momento dipolar del protón , surge una dependencia de la elección del punto de referencia. En tales casos, es convencional elegir que el punto de referencia sea el centro de masa del sistema, no un origen arbitrario. [3] Esta elección no es sólo una cuestión de convención: la noción de momento dipolar se deriva esencialmente de la noción mecánica de par y, como en la mecánica, es computacional y teóricamente útil elegir el centro de masa como punto de observación. Para una molécula cargada, el centro de carga debería ser el punto de referencia en lugar del centro de masa. Para sistemas neutrales, el punto de referencia no es importante. El momento dipolar es una propiedad intrínseca del sistema.
Potencial y campo de un dipolo eléctrico
Un dipolo ideal consta de dos cargas opuestas con una separación infinitesimal. Calculamos el potencial y el campo de tal dipolo ideal comenzando con dos cargas opuestas en la separación d> 0, y tomando el límite como d → 0.
Dos cargas opuestas estrechamente espaciadas ± q tienen un potencial de la forma:
donde la separación de carga es:
Sea R el vector de posición relativo al punto medio, y el vector unitario correspondiente:
Expansión de Taylor en (ver expansión multipolar y cuadrupolo ) expresa este potencial como una serie. [4] [5]
donde los términos de orden superior de la serie desaparecen a grandes distancias, R , en comparación con d . [6] Aquí, el momento dipolar eléctrico p es, como arriba:
El resultado del potencial dipolo también se puede expresar como: [7]
que relaciona el potencial del dipolo con el de una carga puntual. Un punto clave es que el potencial del dipolo cae más rápido con la distancia R que con la carga puntual.
El campo eléctrico del dipolo es el gradiente negativo del potencial, que conduce a: [7]
Por lo tanto, aunque dos cargas opuestas estrechamente espaciadas no son del todo un dipolo eléctrico ideal (porque su potencial a distancias cortas no es el de un dipolo), a distancias mucho mayores que su separación, su momento dipolar p aparece directamente en su potencial y campo.
A medida que las dos cargas se acercan ( d se hace más pequeño), el término dipolo en la expansión multipolar basada en la relación d / R se convierte en el único término significativo a distancias cada vez más cercanas R , y en el límite de separación infinitesimal el término dipolo en esta expansión es todo lo que importa. Sin embargo, a medida que d se hace infinitesimal, la carga del dipolo debe aumentarse para mantener p constante. Este proceso de limitación da como resultado un "dipolo puntual".
Densidad de momento dipolar y densidad de polarización
El momento dipolar de una serie de cargas,
determina el grado de polaridad de la matriz, pero para una matriz neutral es simplemente una propiedad vectorial de la matriz sin información sobre la ubicación absoluta de la matriz. La densidad del momento dipolar de la matriz p ( r ) contiene tanto la ubicación de la matriz como su momento dipolar. Cuando llega el momento de calcular el campo eléctrico en alguna región que contiene la matriz, se resuelven las ecuaciones de Maxwell y la información sobre la matriz de carga está contenida en la densidad de polarización P ( r ) de las ecuaciones de Maxwell. Dependiendo de qué tan fina sea la evaluación del campo eléctrico, se tendrá que expresar más o menos información sobre la matriz de carga mediante P ( r ). Como se explica a continuación, a veces es suficientemente preciso tomar P ( r ) = p ( r ). A veces se necesita una descripción más detallada (por ejemplo, complementando la densidad de momento dipolar con una densidad de cuadrupolo adicional) y, a veces, son necesarias versiones incluso más elaboradas de P ( r ).
Ahora se explora de qué manera la densidad de polarización P ( r ) que entra en las ecuaciones de Maxwell está relacionada con el momento dipolar p de una matriz neutra general de cargas, y también con la densidad de momento dipolar p ( r ) (que describe no solo el momento dipolar, pero también la ubicación de la matriz). A continuación, solo se consideran situaciones estáticas, por lo que P (r) no tiene dependencia del tiempo y no hay corriente de desplazamiento . Primero hay una discusión sobre la densidad de polarización P ( r ). A esa discusión le siguen varios ejemplos particulares.
Una formulación de las ecuaciones de Maxwell basada en la división de cargas y corrientes en cargas y corrientes "libres" y "ligadas" conduce a la introducción de los campos D y P :
donde P se llama densidad de polarización . En esta formulación, la divergencia de esta ecuación produce:
y como el término de divergencia en E es la carga total , y ρ f es "carga gratuita", nos queda la relación:
con ρ b como la carga unida, por lo que se entiende la diferencia entre las densidades de carga total y gratuita.
Como acotación al margen, en ausencia de efectos magnéticos, las ecuaciones de Maxwell especifican que
lo que implica
Aplicando la descomposición de Helmholtz : [8]
para algún potencial escalar φ , y:
Suponga que los cargos se dividen en libres y ligados, y el potencial se divide en
La satisfacción de las condiciones de contorno en φ puede dividirse arbitrariamente entre φ f y φ b porque solo la suma φ debe satisfacer estas condiciones. De ello se deduce que P es simplemente proporcional al campo eléctrico debido a las cargas seleccionadas como limitadas, con condiciones de contorno que resultan convenientes. [9] [10] En particular, cuando no libre de la carga está presente, una posible elección es P = ε 0 E .
A continuación se analiza cómo se relacionan varias descripciones de momentos dipolares diferentes de un medio con la polarización que entra en las ecuaciones de Maxwell.
Medio con densidades de carga y dipolo
Como se describe a continuación, un modelo para la densidad de momentos de polarización p ( r ) da como resultado una polarización
restringido al mismo modelo. Para una distribución de momento dipolar que varía suavemente p ( r ), la densidad de carga ligada correspondiente es simplemente
como estableceremos en breve vía integración por partes . Sin embargo, si p ( r ) muestra un paso abrupto en el momento dipolar en un límite entre dos regiones, ∇ · p ( r ) da como resultado un componente de carga superficial de la carga ligada. Esta carga de superficie se puede tratar a través de una integral de superficie o mediante el uso de condiciones de discontinuidad en el límite, como se ilustra en los diversos ejemplos a continuación.
Como primer ejemplo que relaciona el momento dipolar con la polarización, considere un medio compuesto por una densidad de carga continua ρ ( r ) y una distribución continua del momento dipolar p ( r ). [11] El potencial en una posición r es: [12] [13]
donde ρ ( r ) es la densidad de carga no apareada y p ( r ) es la densidad del momento dipolar. [14] Usando una identidad:
la integral de polarización se puede transformar:
donde la identidad del vector se utilizó en los últimos pasos. El primer término se puede transformar en una integral sobre la superficie que limita el volumen de integración y aporta una densidad de carga superficial, que se analiza más adelante. Volviendo a poner este resultado en el potencial e ignorando la carga superficial por ahora:
donde la integración de volumen se extiende solo hasta la superficie delimitadora y no incluye esta superficie.
El potencial está determinado por la carga total, que lo anterior muestra que consiste en:
mostrando que:
En resumen, la densidad de momento dipolar p ( r ) juega el papel de la densidad de polarización P para este medio. Observe que p ( r ) tiene una divergencia distinta de cero igual a la densidad de carga ligada (como se modela en esta aproximación).
Cabe señalar que este enfoque puede extenderse para incluir todos los multipolos: dipolo, cuadrupolo, etc. [15] [16] Usando la relación:
la densidad de polarización resulta ser:
donde los términos agregados están destinados a indicar contribuciones de multipolos superiores. Evidentemente, la inclusión de multipolos superiores significa que la densidad de polarización P ya no está determinada por una densidad de momento dipolar p solo. Por ejemplo, al considerar la dispersión de una matriz de carga, diferentes multipolares dispersan una onda electromagnética de manera diferente e independiente, lo que requiere una representación de las cargas que va más allá de la aproximación del dipolo. [17]
Carga superficial
Arriba, la discusión se pospuso para el primer término en la expresión para el potencial debido a los dipolos. La integración de la divergencia da como resultado una carga superficial. La figura de la derecha proporciona una idea intuitiva de por qué surge una carga superficial. La figura muestra una matriz uniforme de dipolos idénticos entre dos superficies. Internamente, las cabezas y colas de los dipolos son adyacentes y se cancelan. En las superficies limítrofes, sin embargo, no se produce ninguna cancelación. En cambio, en una superficie, las cabezas de los dipolos crean una carga superficial positiva, mientras que en la superficie opuesta las colas de los dipolos crean una carga superficial negativa. Estas dos cargas superficiales opuestas crean un campo eléctrico neto en una dirección opuesta a la dirección de los dipolos.
A esta idea se le da forma matemática usando la expresión potencial anterior. Ignorando el cargo gratuito, el potencial es:
Usando el teorema de divergencia , el término de divergencia se transforma en la integral de superficie:
siendo d A 0 un elemento del área de la superficie del volumen. En el caso de que p ( r ) sea una constante, solo el término superficial sobrevive:
con d A 0 un área elemental de la superficie que limita las cargas. En palabras, el potencial debido a una constante p dentro de la superficie es equivalente al de una carga superficial
que es positivo para elementos de superficie con un componente en la dirección de py negativo para elementos de superficie apuntados en sentido opuesto. (Por lo general, la dirección de un elemento de superficie se toma como la de la normal hacia afuera a la superficie en la ubicación del elemento).
Si la superficie delimitadora es una esfera y el punto de observación está en el centro de esta esfera, la integración sobre la superficie de la esfera es cero: las contribuciones de carga superficial positiva y negativa al potencial se cancelan. Sin embargo, si el punto de observación está descentrado, puede resultar un potencial neto (dependiendo de la situación) porque las cargas positivas y negativas están a diferentes distancias del punto de observación. [18] El campo debido a la carga superficial es:
que, en el centro de una superficie delimitadora esférica no es cero (los campos de cargas negativas y positivas en los lados opuestos del centro se suman porque ambos campos apuntan de la misma manera) sino que es: [19]
Si suponemos que la polarización de los dipolos fue inducida por un campo externo, el campo de polarización se opone al campo aplicado y, a veces, se denomina campo de despolarización . [20] [21] En el caso de que la polarización esté fuera de una cavidad esférica, el campo en la cavidad debido a los dipolos circundantes está en la misma dirección que la polarización. [22]
En particular, si la susceptibilidad eléctrica se introduce mediante la aproximación:
donde E , en este caso y en el siguiente, representa el campo externo que induce la polarización.
Luego:
Siempre que se utiliza χ ( r ) para modelar una discontinuidad escalonada en el límite entre dos regiones, el escalón produce una capa de carga superficial. Por ejemplo, integrando a lo largo de una normal a la superficie delimitadora desde un punto interior a una superficie a otro punto exterior:
donde A n , Ω n indican el área y el volumen de una región elemental que se extiende a ambos lados del límite entre las regiones, yuna unidad normal a la superficie. El lado derecho desaparece a medida que el volumen se contrae, ya que ρ b es finito, lo que indica una discontinuidad en E y, por lo tanto, una carga superficial. Es decir, donde el medio modelado incluye un paso en la permitividad, la densidad de polarización correspondiente a la densidad del momento dipolar
incluye necesariamente la contribución de una carga superficial. [23] [24] [25]
Un modelado físicamente más realista de p ( r ) haría que la densidad del momento dipolar cayera rápidamente, pero suavemente a cero en el límite de la región de confinamiento, en lugar de dar un paso repentino a la densidad cero. Entonces, la carga superficial no se concentrará en una superficie infinitamente delgada, sino que, al ser la divergencia de una densidad de momento dipolar que varía suavemente, se distribuirá a través de una capa de transición delgada pero finita.
Esfera dieléctrica en campo eléctrico externo uniforme
Las observaciones generales anteriores sobre la carga superficial se hacen más concretas al considerar el ejemplo de una esfera dieléctrica en un campo eléctrico uniforme. [27] [28] Se encuentra que la esfera adopta una carga superficial relacionada con el momento dipolar de su interior.
Se supone que un campo eléctrico externo uniforme apunta en la dirección z , y se introducen coordenadas esférico-polares, por lo que el potencial creado por este campo es:
Se supone que la esfera está descrita por una constante dieléctrica κ , es decir,
y dentro de la esfera, el potencial satisface la ecuación de Laplace. Omitiendo algunos detalles, la solución dentro de la esfera es:
mientras está fuera de la esfera:
A grandes distancias, φ > → φ ∞ entonces B = - E ∞ . La continuidad del potencial y de la componente radial del desplazamiento D = κε 0 E determina las otras dos constantes. Suponiendo que el radio de la esfera es R ,
Como consecuencia, el potencial es:
que es el potencial debido al campo aplicado y, además, un dipolo en la dirección del campo aplicado (la dirección z ) del momento dipolar:
o, por unidad de volumen:
El factor ( κ - 1) / ( κ + 2) se llama factor de Clausius-Mossotti y muestra que la polarización inducida cambia el signo si κ <1. Por supuesto, esto no puede suceder en este ejemplo, pero en un ejemplo con dos Los dieléctricos κ se reemplazan por la relación de las constantes dieléctricas de la región interior a la exterior, que puede ser mayor o menor que uno. El potencial dentro de la esfera es:
que conduce al campo dentro de la esfera:
mostrando el efecto despolarizante del dipolo. Observe que el campo dentro de la esfera es uniforme y paralelo al campo aplicado. El momento dipolar es uniforme en todo el interior de la esfera. La densidad de carga superficial en la esfera es la diferencia entre los componentes del campo radial:
Este ejemplo de dieléctrico lineal muestra que el tratamiento de la constante dieléctrica es equivalente al modelo de momento dipolar uniforme y conduce a carga cero en todas partes excepto por la carga superficial en el límite de la esfera.
Medios generales
Si la observación se limita a regiones suficientemente alejadas de un sistema de cargas, se puede realizar una expansión multipolar de la densidad de polarización exacta. Truncando esta expansión (por ejemplo, reteniendo solo los términos dipolo, o solo los términos dipolo y cuadrupolo, etc. ), se recuperan los resultados de la sección anterior. En particular, al truncar la expansión en el término dipolar, el resultado es indistinguible de la densidad de polarización generada por un momento dipolar uniforme confinado a la región de carga. Para la precisión de esta aproximación dipolar, como se muestra en la sección anterior, la densidad de momento dipolar p ( r ) (que incluye no solo p sino la ubicación de p ) sirve como P ( r ).
En ubicaciones dentro de la matriz de carga, para conectar una matriz de cargas emparejadas a una aproximación que involucre solo una densidad de momento dipolar p ( r ), se requieren consideraciones adicionales. La aproximación más simple es reemplazar la matriz de carga con un modelo de dipolos ideales (espaciados infinitesimalmente). En particular, como en el ejemplo anterior que usa una densidad de momento dipolar constante confinada a una región finita, se produce una carga superficial y un campo de despolarización. Una versión más general de este modelo (que permite que la polarización varíe con la posición) es el enfoque habitual que utiliza susceptibilidad eléctrica o permitividad eléctrica .
Un modelo más complejo de la matriz de carga puntual introduce un medio eficaz promediando las cargas microscópicas; [21] por ejemplo, el promedio puede disponer que solo los campos dipolares desempeñen un papel. [29] [30] Un enfoque relacionado es dividir las cargas entre las que están cerca del punto de observación y las que están lo suficientemente lejos para permitir una expansión multipolar. Las cargas cercanas dan lugar a efectos de campo locales . [19] [31] En un modelo común de este tipo, las cargas distantes se tratan como un medio homogéneo usando una constante dieléctrica, y las cargas cercanas se tratan solo en una aproximación dipolar. [32] La aproximación de un medio o una matriz de cargas solo por dipolos y su densidad de momento dipolar asociada a veces se denomina aproximación de dipolo puntual , aproximación de dipolo discreto o simplemente aproximación de dipolo . [33] [34] [35]
Momentos dipolares eléctricos de partículas fundamentales
No debe confundirse con el espín, que se refiere a los momentos dipolares magnéticos de las partículas, se continúa trabajando mucho en la medición de los momentos dipolares eléctricos (EDM) de las partículas fundamentales y compuestas, es decir, las del electrón y el neutrón , respectivamente. Como los EDM violan las simetrías de paridad (P) y de inversión de tiempo (T), sus valores producen una medida de violación de CP en su mayoría independiente del modelo en la naturaleza (asumiendo que la simetría de CPT es válida). [36] Por lo tanto, los valores para estos EDM imponen fuertes restricciones a la escala de violación de CP que pueden permitir las extensiones del modelo estándar de física de partículas . Las generaciones actuales de experimentos están diseñadas para ser sensibles al rango de supersimetría de EDM, proporcionando experimentos complementarios a los realizados en el LHC . [37]
De hecho, muchas teorías son inconsistentes con los límites actuales y se han descartado de manera efectiva, y la teoría establecida permite un valor mucho mayor que estos límites, lo que lleva al fuerte problema de PC e impulsa la búsqueda de nuevas partículas como el axión . [38]
Momentos dipolares de moléculas
Los momentos dipolares en las moléculas son responsables del comportamiento de una sustancia en presencia de campos eléctricos externos. Los dipolos tienden a estar alineados con el campo externo que puede ser constante o dependiente del tiempo. Este efecto forma la base de una técnica experimental moderna llamada espectroscopia dieléctrica .
Los momentos dipolares se pueden encontrar en moléculas comunes como el agua y también en biomoléculas como las proteínas. [39]
Mediante el momento dipolar total de algún material se puede calcular la constante dieléctrica que se relaciona con el concepto más intuitivo de conductividad. Si es el momento dipolar total de la muestra, entonces la constante dieléctrica viene dada por,
donde k es una constante yes la función de correlación de tiempo del momento dipolar total. En general, el momento dipolar total tiene contribuciones provenientes de traslaciones y rotaciones de las moléculas en la muestra,
Por lo tanto, la constante dieléctrica (y la conductividad) tiene contribuciones de ambos términos. Este enfoque se puede generalizar para calcular la función dieléctrica dependiente de la frecuencia. [40]
Es posible calcular momentos dipolares a partir de la teoría de la estructura electrónica , ya sea como respuesta a campos eléctricos constantes o de la matriz de densidad. [41] Sin embargo, estos valores no son directamente comparables a los del experimento debido a la presencia potencial de efectos cuánticos nucleares, que pueden ser sustanciales incluso para sistemas simples como la molécula de amoníaco. [42] La teoría de conglomerados acoplados (especialmente CCSD (T) [43] ) puede dar momentos dipolares muy precisos, [44] aunque es posible obtener estimaciones razonables (dentro de aproximadamente el 5%) de la teoría funcional de densidad , especialmente si es híbrido o doble se emplean funcionales híbridos. [45] El momento dipolar de una molécula también se puede calcular basándose en la estructura molecular utilizando el concepto de métodos de contribución de grupo. [46]
Ver también
- Momento dipolo eléctrico anómalo
- Momento dipolar de enlace
- Momento dipolo eléctrico de neutrones
- Momento dipolo eléctrico del electrón
- Expansión multipolar
- Momentos multipolares
- Armónicos sólidos
- Momentos multipolares axiales
- Momentos multipolares cilíndricos
- Momentos multipolares esféricos
- Expansión de Laplace
- Polinomios de Legendre
Referencias y notas en línea
- ^ Muchos teóricos predicen que las partículas elementales pueden tener momentos dipolares eléctricos muy pequeños, posiblemente sin carga separada. Dipolos tan grandes no suponen ninguna diferencia para la física cotidiana y aún no se han observado. (Ver momento dipolar eléctrico de electrones ). < Https://youtube.com/channel/UC38CxCNQqhfSyLZNdK8Is1Q > Sin embargo, al realizar mediciones a una distancia mucho mayor que la separación de carga, el dipolo proporciona una buena aproximación del campo eléctrico real. El dipolo está representado por un vector de la carga negativa hacia la carga positiva.
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- ^ En principio, se podría añadir la misma arbitraria rizo tanto a D y P , lo que anularía la diferencia D - P . Sin embargo, suponiendo que D y P se originan en una simple división de cargas en libres y ligadas, son formalmente similares a los campos eléctricos y, por lo tanto, tienen cero curvatura .
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Otras lecturas
- Melvin Schwartz (1987). "MOMENTO DIPOLE Eléctrico" . Principles of Electrodynamics (reimpresión de 1972 ed.). Publicaciones de Courier Dover. pag. 49 ss . ISBN 978-0-486-65493-5.
enlaces externos
- Momento dipolo eléctrico - del mundo de la física de Eric Weisstein
- Modelo multifísico dipolo electrostático [ enlace muerto permanente ]