Espacio contablemente compacto

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En matemáticas , un espacio topológico se denomina compacto numerable si cada cubierta abierta numerable tiene una subcubierta finita.

Un espacio topológico X se denomina numerablemente compacto si cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[1] [2]}

(1) (2):${\ estilo de visualización \ flecha derecha}$ Suponga que (1) se cumple y A es un subconjunto infinito de X sin punto de acumulación. Tomando un subconjunto de A si es necesario, podemos suponer que A es contable. Cada tiene una vecindad abierta tal que es finita (posiblemente vacía), ya que x no es un punto de acumulación ω. Para cada subconjunto finito F de A definir . Cada es un subconjunto de uno de los , por lo que la cubierta X . Dado que hay muchos numerables, forman una cubierta abierta numerable de X${\ estilo de visualización \ omega}$${\ estilo de visualización x \ en X}$${\ estilo de visualización O_ {x}}$${\displaystyle O_{x}\cap A}$${\displaystyle O_{F}=\cup \{O_{x}:O_{x}\cap A=F\}}$${\ estilo de visualización O_ {x}}$${\ estilo de visualización O_ {F}}$${\ estilo de visualización O_ {F}}$${\ estilo de visualización O_ {F}}$. Pero cada intersección A en un subconjunto finito (a saber , F ), por lo que un número finito de ellos no puede cubrir A , y mucho menos X. Esta contradicción prueba (2).${\ estilo de visualización O_ {F}}$

(2) (3):${\ estilo de visualización \ flecha derecha}$ Supongamos que (2) se cumple, y sea una sucesión en X . Si la secuencia tiene un valor x que ocurre infinitas veces, ese valor es un punto de acumulación de la secuencia. De lo contrario, cada valor en la secuencia ocurre solo un número finito de veces y el conjunto es infinito y, por lo tanto, tiene un punto de acumulación ω x . Que x es entonces un punto de acumulación de la sucesión, como se comprueba fácilmente.${\ estilo de visualización (x_ {n}) _ {n}}$${\displaystyle A=\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$

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