Punto límite

En matemáticas, un punto límite (o punto de clúster o punto de acumulación ) de un conjunto en un espacio topológico es un punto que puede ser "aproximada" por puntos de en el sentido de que cada barrio de con respecto a la topología en también contiene un punto de otro que no sea él mismo. Un punto límite de un conjunto no tiene por qué ser en sí mismo un elemento de. También existe un concepto estrechamente relacionado para las secuencias . Un punto de agrupación o punto de acumulación de una secuencia en un${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S.}$ ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$El espacio topológico es un punto tal que, por cada vecindario de hay infinitos números naturales tales que Esta definición de un grupo o punto de acumulación de una secuencia se generaliza a redes y filtros . A diferencia de los conjuntos, para una secuencia, red o filtro, el término "punto límite" no es sinónimo de "punto de agrupación / acumulación"; por definición, la noción de nombre similar de un punto límite de un filtro ^[1] (respectivamente, un punto límite de una secuencia , ^[2] un punto límite de una red ) se refiere a un punto al que el filtro converge${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle x,}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x_ {n} \ in V.}$(respectivamente, la secuencia converge a , la red converge a ).

Los puntos límite de un conjunto no deben confundirse con los puntos adherentes para los que cada vecindario de contiene un punto de . A diferencia de los puntos límite, este punto de puede ser él mismo. Un punto límite se puede caracterizar como un punto adherente que no es un punto aislado .${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$

Los puntos límite de un conjunto tampoco deben confundirse con los puntos límite . Por ejemplo, es un punto límite (pero no un punto límite) del conjunto en con topología estándar . Sin embargo, es un punto límite (aunque no un punto límite) del intervalo en con topología estándar (para un ejemplo menos trivial de un punto límite, consulte la primera subtítulo). ^{[3] [4] [5]}${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle 0.5}$${\ Displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Con respecto a la topología euclidiana habitual , la secuencia de números racionales no tiene límite (es decir, no converge), pero tiene dos puntos de acumulación (que aquí se consideran puntos límite ), a saber. -1 y +1. Así, pensando en conjuntos, estos puntos son puntos límite del conjunto${\ Displaystyle x_ {n} = (- 1) ^ {n} {\ frac {n} {n + 1}}}$${\ Displaystyle S = \ {x_ {n} \}.}$

Una secuencia que enumera todos los números racionales positivos . Cada número real positivo es un punto de agrupación.