En la teoría de la probabilidad , el acoplamiento es una técnica de prueba que permite comparar dos variables aleatorias no relacionadas (distribuciones) y creando un vector aleatorio cuyas distribuciones marginales corresponden a y respectivamente. La elección de generalmente no es único, y toda la idea de "acoplamiento" se trata de tomar esa decisión para que y pueden relacionarse de una manera particularmente deseable.
Definición
Usando el formalismo estándar de probabilidad, sea y ser dos variables aleatorias definidas en espacios de probabilidad y . Entonces un acoplamiento de y es un nuevo espacio de probabilidad sobre el cual hay dos variables aleatorias y tal que tiene la misma distribución que tiempo tiene la misma distribución que .
Un caso interesante es cuando y no son independientes.
Ejemplos de
Caminata aleatoria
Suponga que dos partículas A y B realizan una caminata aleatoria simple en dos dimensiones, pero comienzan desde puntos diferentes. La forma más sencilla de acoplarlos es simplemente obligarlos a caminar juntos. En cada paso, si A camina hacia arriba, también lo hace B , si A se mueve hacia la izquierda, también lo hace B , etc. Por lo tanto, la diferencia entre las dos partículas permanece fija. En lo que respecta a A , está haciendo una caminata aleatoria perfecta, mientras que B es el imitador. B sostiene el punto de vista opuesto, es decir, que es, en efecto, el original y que A es la copia. Y en cierto sentido ambos tienen razón. En otras palabras, cualquier teorema matemático, o un resultado que mantiene a dar un paseo al azar regular, también se llevarán a cabo tanto para A y B .
Considere ahora un ejemplo más elaborado. Suponga que A comienza desde el punto (0,0) y B desde (10,10). Primero acopérelos para que caminen juntos en la dirección vertical, es decir, si A sube, también lo hace B , etc., pero son imágenes especulares en la dirección horizontal, es decir, si A va a la izquierda, B a la derecha y viceversa. Continuamos este acoplamiento hasta que A y B tengan la misma coordenada horizontal, es decir, estén en la línea vertical (5, y ). Si nunca se encuentran, continuamos este proceso para siempre (aunque la probabilidad es cero). Después de este evento, cambiamos la regla de acoplamiento. Dejamos que caminen juntos en dirección horizontal, pero en una imagen especular gobiernan en dirección vertical. Continuamos con esta regla hasta que se encuentren también en la dirección vertical (si lo hacen), y a partir de ese momento, simplemente los dejamos caminar juntos.
Este es un acoplamiento en el sentido de que ninguna partícula, por sí sola, puede "sentir" nada de lo que hicimos. Ni el hecho de que la otra partícula la siga de una forma u otra, ni el hecho de que cambiamos la regla de acoplamiento o cuándo lo hicimos. Cada partícula realiza un simple paseo aleatorio. Y sin embargo, nuestra regla de acoplamiento los obliga a reunirse casi con seguridad y a continuar juntos desde ese punto de forma permanente. Esto permite probar muchos resultados interesantes que dicen que "a largo plazo", no es importante dónde comenzó para obtener ese resultado en particular.
Monedas sesgadas
Suponga dos monedas sesgadas, la primera con probabilidad p de dar la vuelta a la cara y la segunda con probabilidad q > p de dar la vuelta a la cara. Intuitivamente, si ambas monedas se lanzan la misma cantidad de veces, la primera moneda debería dar menos caras que la segunda. Más específicamente, para cualquier k fijo , la probabilidad de que la primera moneda produzca al menos k caras debería ser menor que la probabilidad de que la segunda moneda produzca al menos k caras. Sin embargo, probar tal hecho puede ser difícil con un argumento de conteo estándar. [1] El acoplamiento evita fácilmente este problema.
Sean X 1 , X 2 , ..., X n variables indicadoras de cara en una secuencia de lanzamientos de la primera moneda. Para la segunda moneda, defina una nueva secuencia Y 1 , Y 2 , ..., Y n tal que
- si X i = 1, entonces Y i = 1,
- si X i = 0, entonces Y i = 1 con probabilidad ( q - p ) / (1 - p ).
Entonces, la secuencia de Y i tiene exactamente la distribución de probabilidad de los lanzamientos realizados con la segunda moneda. Sin embargo, debido a que Y i depende de X i , ahora es posible una comparación lanzamiento a lanzamiento de las dos monedas. Es decir, para cualquier k ≤ n
Ver también
Notas
Referencias
- T. Lindvall, Conferencias sobre el método de acoplamiento . Wiley, Nueva York, 1992.
- H. Thorisson, Acoplamiento, estacionariedad y regeneración . Springer, Nueva York, 2000.