En matemáticas, el principio minimax de Courant proporciona los valores propios de una matriz simétrica real . Lleva el nombre de Richard Courant .
Introducción
El principio minimax de Courant proporciona una condición para encontrar los valores propios de una matriz simétrica real. El principio de Courant minimax es el siguiente:
Para cualquier matriz simétrica real A ,
dónde es cualquier matriz.
Observe que el vector x es un vector propio del valor propio correspondiente λ .
El principio minimax de Courant es el resultado del teorema del máximo, que dice que para , Siendo A una matriz simétrica real, el valor propio más grande está dado por, dónde es el vector propio correspondiente. También (en el teorema del máximo) valores propios posteriores y vectores propios se encuentran por inducción y son ortogonales entre sí; por lo tanto, con .
El principio minimax de Courant, así como el principio máximo, se pueden visualizar imaginando que si || x || = 1 es una hiperesfera, entonces la matriz A deforma esa hiperesfera en un elipsoide . Cuando se maximiza el eje mayor en el hiperplano que se interseca , es decir, se maximiza la longitud de la forma cuadrática q ( x ), este es el autovector y su longitud es el autovalor. Todos los demás autovectores serán perpendiculares a esto.
El principio minimax también se generaliza a los valores propios de los operadores autoadjuntos positivos en los espacios de Hilbert , donde se usa comúnmente para estudiar el problema de Sturm-Liouville .
Ver también
Referencias
- Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Método de física matemática, vol. Yo , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50447-5(Páginas 31-34; en la mayoría de los libros de texto, el "método máximo-mínimo" se atribuye generalmente a Rayleigh y Ritz , quienes aplicaron el cálculo de variaciones en la teoría del sonido).
- Keener, James P. Principios de matemáticas aplicadas: transformación y aproximación . Cambridge: Westview Press, 2000. ISBN 0-7382-0129-4
- Horn, Roger; Johnson, Charles (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press, pág. 179, ISBN 978-0-521-38632-6