En los cálculos astronómicos y geodésicos , los cracovianos son una conveniencia administrativa introducida en la década de 1930 por Tadeusz Banachiewicz para resolver sistemas de ecuaciones lineales a mano. Tales sistemas se pueden escribir como A x = b en notación matricial donde x y b son vectores columna y la evaluación de b requiere la multiplicación de las filas de A por el vector x .
Los cracovianos introdujeron la idea de usar la transposición de A , A T y multiplicar las columnas de A T por la columna x . Esto equivale a la definición de un nuevo tipo de multiplicación de matrices denotado aquí por '∧'. Por lo tanto, x ∧ A T = b = A x . El producto cracoviano de dos matrices, digamos A y B , se define por A ∧ B = B T A , donde B T y A se asumen compatibles para el tipo común ( Cayley ) de multiplicación de matrices.
Dado que ( AB ) T = B T A T , los productos ( A ∧ B ) ∧ C y A ∧ ( B ∧ C ) generalmente serán diferentes; por tanto, la multiplicación cracoviana no es asociativa . Los cracovianos son un ejemplo de cuasigrupo .
Los cracovianos adoptaron una convención columna-fila para designar elementos individuales en oposición a la convención estándar fila-columna del análisis matricial. Esto facilitó la multiplicación manual, ya que se necesitaba seguir dos columnas paralelas (en lugar de una columna vertical y una fila horizontal en la notación matricial). También aceleró los cálculos de computadora, porque los elementos de ambos factores se usaron en un orden similar, lo que era más compatible con la memoria de acceso secuencial en las computadoras de esa época, principalmente la memoria de cinta magnética y la memoria de batería . El uso de los cracovianos en astronomía se desvaneció a medida que las computadoras con mayor memoria de acceso aleatorio se generalizaron. Cualquier referencia moderna a ellos está relacionada con su multiplicación no asociativa.
En programación
En R, el efecto deseado se puede lograr a través de la crossprod()
función. Específicamente, el producto cracoviano de las matrices A y B se puede obtener como crossprod(B, A)
.
Referencias
- Banachiewicz, T. (1955). Vistas en astronomía , vol. 1, número 1, págs. 200–206.
- Herget, Paul; (1948, reimpreso en 1962). El cálculo de órbitas, Observatorio de la Universidad de Cincinnati (publicado de forma privada). El asteroide 1751 lleva el nombre del autor.
- Kocinski, J. (2004). Álgebra cracoviana , Nova Science Publishers.