Cuasigrupo

En matemáticas , especialmente en álgebra abstracta , un cuasigrupo es una estructura algebraica que se asemeja a un grupo en el sentido de que la " división " siempre es posible. Los cuasigrupos se diferencian de los grupos principalmente en que no son necesariamente asociativos .

Un cuasigrupo con un elemento de identidad se llama bucle .

Estructuras algebraicas
Tipo grupo Grupo Semigrupo  / Monoid Rack y quandle Cuasigrupo y bucle Grupo abeliano Magma Grupo de mentiras Teoría de grupos
Como un anillo Anillo Rng Semiring Anillo cercano Anillo conmutativo Dominio integral Campo Anillo de división Teoría del anillo
celosía -como Enrejado Semirretículo Celosía complementada Orden total Heyting álgebra álgebra de Boole Mapa de celosías Teoría de la celosía
Como un módulo Módulo Grupo con operadores Espacio vectorial Álgebra lineal
Algebra- like Álgebra De asociación No asociativo Álgebra de composición Álgebra de mentiras Calificado Bialgebra
v t mi

Definiciones

Hay al menos dos definiciones formales estructuralmente equivalentes de cuasigrupo. Uno define un cuasigrupo como un conjunto con una operación binaria , y el otro, del álgebra universal , define un cuasigrupo como que tiene tres operaciones primitivas. El homomorphic imagen de un cuasigrupo definida con una sola operación binaria, sin embargo, no tiene que ser un cuasigrupo. ^[1] Comenzamos con la primera definición.

Álgebra

Un cuasigrupo ( Q , ∗) es un conjunto Q no vacío con una operación binaria ∗ (es decir, un magma ), que obedece a la propiedad del cuadrado latino . Esto indica que, para cada una y b en Q , existen elementos únicos x y y en Q tal que tanto

a ∗ x = b ,

y ∗ a = b

mantener. (En otras palabras: cada elemento del conjunto ocurre exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna de la tabla de multiplicar del cuasigrupo, o tabla de Cayley . Esta propiedad asegura que la tabla de Cayley de un cuasigrupo finito y, en particular, finito grupo, es un cuadrado latino .) El requisito de unicidad puede ser reemplazado por el requisito de que el magma sea cancelable . ^[2]

Las soluciones únicas a estas ecuaciones se escriben x = un \ b y y = b / a . Las operaciones '\' y '/' se denominan, respectivamente, división izquierda y derecha .

El conjunto vacío equipado con la operación binaria vacía satisface esta definición de cuasigrupo. Algunos autores aceptan el cuasigrupo vacío, pero otros lo excluyen explícitamente. ^{[3] [4]}

Álgebra universal

Dada alguna estructura algebraica , una identidad es una ecuación en la que todas las variables se cuantifican tácitamente universalmente , y en la que todas las operaciones se encuentran entre las operaciones primitivas propias de la estructura. Las estructuras algebraicas axiomatizadas únicamente por identidades se denominan variedades . Muchos resultados estándar en álgebra universal son válidos solo para variedades. Los cuasigrupos son variedades si se toman como primitivas la división izquierda y derecha.

Un cuasigrupo ( Q , ∗, \, /) es un álgebra de tipo (2,2,2) (es decir, equipado con tres operaciones binarias) que satisface las identidades:

y = x ∗ ( x \ y ),

y = x \ ( x ∗ y ),

y = ( y / x ) ∗ x ,

y = ( y ∗ x ) / x .

En otras palabras: la multiplicación y la división en cualquier orden, una tras otra, en el mismo lado por el mismo elemento, no tienen ningún efecto neto.

Por tanto, si ( Q , ∗) es un cuasigrupo según la primera definición, entonces ( Q , ∗, \, /) es el mismo cuasigrupo en el sentido del álgebra universal. Y viceversa: si ( Q , ∗, \, /) es un cuasigrupo según el sentido del álgebra universal, entonces ( Q , ∗) es un cuasigrupo según la primera definición.

Bucles

Estructuras algebraicas entre magmas y grupos.

Un bucle es un cuasigrupo con un elemento de identidad ; es decir, un elemento, e , tal que

x * e = x y e * x = x para todo x en Q .

De ello se deduce que el elemento de identidad, e , es único, y que cada elemento de Q tiene inversas izquierdas y derechas únicas (que no tienen por qué ser iguales).

Un cuasigrupo con un elemento idempotente se llama piqué ("cuasigrupo idempotente puntiagudo"); Esta es una noción más débil que un bucle, pero común no obstante porque, por ejemplo, dado un grupo abeliano , ( A , +) , tomar su operación de resta como multiplicación de cuasigrupos produce un pique ( A , -) con la identidad de grupo (cero) convertida en un "idempotente puntiagudo". (Es decir, hay una isotopía principal ( x , y , z ) ↦ ( x , - y , z )) .

Un bucle asociativo es un grupo. Un grupo puede tener un isótopo de piqué no asociativo, pero no puede tener un isótopo de bucle no asociativo.

Hay propiedades de asociatividad más débiles a las que se les han dado nombres especiales.

Por ejemplo, un bucle Bol es un bucle que satisface:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z      para cada x , y y z en Q (un bucle de Bol izquierdo ),

si no

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) para cada x , y y z en Q (un bucle de Bol derecho ).

Un bucle que es tanto un bucle de Bol izquierdo como un bucle derecho es un bucle de Moufang . Esto es equivalente a cualquiera de las siguientes identidades únicas de Moufang para todo x , y , z :

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ z ,

z ∗ ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x ,

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x ), o

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = ( x ∗ ( y ∗ z )) ∗ x .

Simetrías

Smith (2007) nombra las siguientes propiedades y subclases importantes:

Semisimetría

Un cuasigrupo es semisimétrico si se cumplen las siguientes identidades equivalentes:

xy = y / x ,

yx = x \ y ,

x = ( yx ) y ,

x = y ( xy ).

Aunque esta clase pueda parecer especial, cada cuasigrupo Q induce un cuasigrupo Q Δ semisimétrico en el cubo de producto directo Q ³ mediante la siguiente operación:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=(y_{3}/x_{2},y_{1}\backslash x_{3},x_{1}y_{2})=(x_{2}//y_{3},x_{3}\backslash \backslash y_{1},x_{1}y_{2}),}$

donde "//" y "\\" son las operaciones de división conjugadas dadas por y .${\displaystyle y//x=x/y}$${\displaystyle y\backslash \backslash x=x\backslash y}$

Triality

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Febrero de 2015 )

Simetría total

Una clase más estrecha que es un cuasigrupo totalmente simétrico (a veces abreviado TS-quasigroup ) en el que todos los conjugados coinciden como una operación: xy = x / y = x \ y . Otra forma de definir (la misma noción de) un cuasigrupo totalmente simétrico es como un cuasigrupo semisimétrico que también es conmutativo, es decir, xy = yx .

Los cuasigrupos simétricos totales idempotentes son precisamente (es decir, en una biyección con) triples de Steiner , por lo que dicho cuasigrupo también se denomina cuasigrupo de Steiner , ya veces este último incluso se abrevia como squag ; el término balandra se define de manera similar para un cuasigrupo Steiner que también es un bucle. Sin idempotencia, los cuasigrupos simétricos totales corresponden a la noción geométrica del triple de Steiner extendido , también llamado Curva Cúbica Elíptica Generalizada (GECC).

Antisimetría total

Un cuasigrupo ( Q , ∗) se denomina totalmente antisimétrico si para todo c , x , y ∈ Q , se cumplen las dos implicaciones siguientes: ^[5]

1. ( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x implica que x = y
2. x ∗ y = y ∗ x implica que x = y .

Se le llama débilmente totalmente anti-simétrico si solo se cumple la primera implicación. ^[5]

Esta propiedad es necesaria, por ejemplo, en el algoritmo Damm .

Ejemplos

• Cada grupo es un bucle, porque a ∗ x = b si y solo si x = a ⁻¹ ∗ b , e y ∗ a = b si y solo si y = b ∗ a ⁻¹ .
• Los enteros Z con resta (-) forman un cuasigrupo.
• Los racionales distintos de cero Q ^× (o los reales distintos de cero R ^× ) con división (÷) forman un cuasigrupo.
• Cualquier espacio vectorial sobre un campo de característica no igual a 2 forma un idempotente , conmutativa cuasigrupo bajo la operación x * Y = ( x + y ) / 2 .
• Cada sistema triple Steiner define un idempotente , conmutativa cuasigrupo: un * b es el tercer elemento de la triple que contiene un y b . Estos cuasigrupos también satisfacen ( x * y ) * y = x para todo x y y en el cuasigrupo. Estos cuasigrupos se conocen como cuasigrupos de Steiner . ^[6]
• El conjunto {± 1, ± i, ± j, ± k} donde ii = jj = kk = +1 y con todos los demás productos como en el grupo de cuaterniones forma un bucle no asociativo de orden 8. Ver cuaterniones hiperbólicos para su aplicación. (Los cuaterniones hiperbólicos en sí mismos no forman un bucle o cuasigrupo).
• Los octoniones distintos de cero forman un bucle no asociativo en la multiplicación. Los octoniones son un tipo especial de bucle conocido como bucle de Moufang .
• Un cuasigrupo asociativo está vacío o es un grupo, ya que si hay al menos un elemento, la existencia de inversas y asociatividad implica la existencia de una identidad.
• La siguiente construcción se debe a Hans Zassenhaus . En el conjunto subyacente del espacio vectorial de cuatro dimensiones F ⁴ sobre el campo de Galois de 3 elementos F = Z / 3 Z define

( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) ∗ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) + (0, 0, 0, ( x ₃ - y ₃ ) ( x ₁ y₂ - x ₂ y ₁ )).

Entonces, ( F ⁴ , ∗) es un bucle conmutativo de Moufang que no es un grupo. ^[7]

• De manera más general, el conjunto de elementos distintos de cero de cualquier álgebra de división forma un cuasigrupo.

Propiedades

En el resto del artículo denotaremos multiplicación de cuasigrupos simplemente por yuxtaposición .

Los cuasigrupos tienen la propiedad de cancelación : si ab = ac , entonces b = c . Esto se deriva de la singularidad de la división izquierda de ab o ac por a . De manera similar, si ba = ca , entonces b = c .

Operadores de multiplicación

La definición de un cuasigrupo se puede tratar como condiciones en los operadores de multiplicación izquierdo y derecho L ( x ), R ( y ): Q → Q , definido por

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)y&=xy\\R(x)y&=yx\\\end{aligned}}}$

La definición dice que ambas asignaciones son biyecciones de Q a sí mismo. Un magma Q es un cuasigrupo precisamente cuando todos estos operadores, para cada x en Q , son biyectivos. Las asignaciones inversas son la división izquierda y derecha, es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)^{-1}y&=x\backslash y\\R(x)^{-1}y&=y/x\end{aligned}}}$

En esta notación, las identidades entre las operaciones de multiplicación y división del cuasigrupo (indicadas en la sección sobre álgebra universal ) son

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)L(x)^{-1}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L(x)^{-1}L(x)&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R(x)R(x)^{-1}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (y/x)x&=y\\R(x)^{-1}R(x)&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}}$

donde 1 denota la asignación de identidad en Q .

Cuadrados latinos

Artículo principal: plaza latina

Un cuadrado latino, la tabla de multiplicar sin límites para un cuasigrupo cuyos 10 elementos son los dígitos del 0 al 9.

La tabla de multiplicar de un cuasigrupo finito es un cuadrado latino : una tabla n × n llena con n símbolos diferentes de tal manera que cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna.

A la inversa, cada cuadrado latino se puede tomar como la tabla de multiplicar de un cuasigrupo de muchas maneras: la fila del borde (que contiene los encabezados de las columnas) y la columna del borde (que contiene los encabezados de las filas) pueden ser cualquier permutación de los elementos. Vea pequeños cuadrados latinos y cuasigrupos .

Cuasigrupos infinitos

Para un infinito numerable cuasigrupo Q , es posible imaginar una matriz infinita en la que cada fila y cada columna corresponde a algún elemento q de Q , y donde el elemento de un * b está en la fila correspondiente a una y la columna de responder a b . En esta situación también, la propiedad del Cuadrado Latino dice que cada fila y cada columna de la matriz infinita contendrá todos los valores posibles precisamente una vez.

Para un cuasigrupo infinito incontable , como el grupo de números reales distintos de cero bajo la multiplicación, la propiedad del cuadrado latino todavía se mantiene, aunque el nombre es algo insatisfactorio, ya que no es posible producir la matriz de combinaciones a las que se refiere la idea anterior de una matriz infinita se extiende ya que los números reales no pueden escribirse todos en una secuencia .

Propiedades inversas

Cada elemento de bucle tiene un inverso izquierdo y derecho único dado por

${\displaystyle x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e}$

${\displaystyle x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e}$

Se dice que un bucle tiene inversos (de dos lados ) si para todo x . En este caso, el elemento inverso generalmente se denota por .${\displaystyle x^{\lambda }=x^{\rho }}$${\displaystyle x^{-1}}$

Hay algunas nociones más fuertes de inversas en bucles que a menudo son útiles:

• Un bucle tiene la propiedad inversa izquierda si para todos y . Equivalentemente, o .${\displaystyle x^{\lambda }(xy)=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L(x)^{-1}=L(x^{\lambda })}$${\displaystyle x\backslash y=x^{\lambda }y}$
• Un bucle tiene la propiedad inversa correcta si para todos y . Equivalentemente, o .${\displaystyle (yx)x^{\rho }=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R(x)^{-1}=R(x^{\rho })}$${\displaystyle y/x=yx^{\rho }}$
• Un bucle tiene la propiedad inversa antiautomórfica si o, de manera equivalente, si .${\displaystyle (xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }}$${\displaystyle (xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }}$
• Un bucle tiene la propiedad inversa débil cuando si y solo si . Esto puede expresarse en términos de inversas vía o de manera equivalente .${\displaystyle (xy)z=e}$${\displaystyle x(yz)=e}$${\displaystyle (xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }}$${\displaystyle x(yx)^{\rho }=y^{\rho }}$

Un bucle tiene la propiedad inversa si tiene las propiedades inversas izquierda y derecha. Los bucles de propiedad inversa también tienen propiedades inversas antiautomórficas y débiles. De hecho, cualquier bucle que satisfaga dos de las cuatro identidades anteriores tiene la propiedad inversa y, por lo tanto, satisface las cuatro.

Cualquier bucle que satisfaga las propiedades inversas izquierda, derecha o antiautomórficas automáticamente tiene inversas de dos lados.

Morfismos

Un cuasigrupo o homomorfismo de bucle es un mapa f  : Q → P entre dos cuasigrupos de manera que f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Los homomorfismos de cuasigrupo necesariamente preservan la división izquierda y derecha, así como los elementos de identidad (si existen).

Homotopía e isotopía

Artículo principal: Isotopía de bucles

Sean Q y P cuasigrupos. Una homotopía de cuasigrupo de Q a P es un triple (α, β, γ) de mapas de Q a P tal que

${\displaystyle \alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,}$

para todo x , y en Q . Un homomorfismo de cuasigrupo es solo una homotopía para la que los tres mapas son iguales.

Una isotopía es una homotopía para la cual cada uno de los tres mapas (α, β, γ) es una biyección . Dos cuasigrupos son isotópicos si hay una isotopía entre ellos. En términos de cuadrados latinos, una isotopía (α, β, γ) viene dada por una permutación de filas α, una permutación de columnas β y una permutación en el conjunto de elementos subyacente γ.

Una autotopía es una isotopía de un cuasigrupo a sí misma. El conjunto de todas las autotopías de un cuasigrupo forma un grupo con el grupo de automorfismo como subgrupo.

Cada cuasigrupo es isotópico a un bucle. Si un bucle es isotópico para un grupo, entonces es isomórfico para ese grupo y, por lo tanto, es en sí mismo un grupo. Sin embargo, un cuasigrupo que es isotópico para un grupo no necesita ser un grupo. Por ejemplo, el cuasigrupo en R con la multiplicación dada por ( x + y ) / 2 es isotópico al grupo aditivo ( R , +) , pero no es en sí mismo un grupo. Cada cuasigrupo medial es isotópico a un grupo abeliano según el teorema de Bruck-Toyoda .

Conjugación (parastrofe)

La división izquierda y derecha son ejemplos de cómo formar un cuasigrupo al permutar las variables en la ecuación definitoria. A partir de la operación original ∗ (es decir, x ∗ y = z ) podemos formar cinco nuevas operaciones: x o y  : = y ∗ x (la operación opuesta ), / y \, y sus opuestos. Eso hace un total de seis operaciones de cuasigrupo, que se denominan conjugados o parastrofes de ∗. Se dice que dos de estas operaciones son "conjugadas" o "parastróficas" entre sí (y para sí mismas).

Isóstrofe (paratopia)

Si el conjunto Q tiene dos operaciones de cuasigrupo, ∗ y ·, y una de ellas es isotópica a un conjugado de la otra, se dice que las operaciones son isostróficas entre sí. También hay muchos otros nombres para esta relación de "isóstrofe", por ejemplo, paratopia .

Generalizaciones

Cuasigrupos poliadicos o multiarios

Un n - cuasigrupo ary es un conjunto con un n operación ary , ( Q , f ) con f : Q ⁿ → Q , de manera que la ecuación f ( x ₁ , ..., x _n ) = y tiene una solución única para cualquier variable si todas las demás n variables se especifican arbitrariamente. Polyadic o multiaria significa n -ary para algún número entero no negativo n .

A 0-ary, o nullary , cuasigrupo es sólo un elemento constante de Q . Un cuasigrupo 1-ario o unario es una biyección de Q a sí mismo. Un cuasigrupo binario o binario es un cuasigrupo ordinario.

Un ejemplo de un cuasigrupo multiaria es una operación de grupo iterada, y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; no es necesario utilizar paréntesis para especificar el orden de las operaciones porque el grupo es asociativo. También se puede formar un cuasigrupo multiaire llevando a cabo cualquier secuencia del mismo o diferente grupo o cuasigrupo de operaciones, si se especifica el orden de las operaciones.

Existen cuasigrupos multiarios que no se pueden representar de ninguna de estas formas. Un cuasigrupo n -ario es irreducible si su operación no se puede factorizar en la composición de dos operaciones de la siguiente manera:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),}$

donde 1 ≤ i < j ≤ n y ( i, j ) ≠ (1, n ) . Existen cuasigrupos n -arios finitos e irreducibles para todos los n > 2 ; ver Akivis y Goldberg (2001) para más detalles.

Un n cuasigrupo ary con un n versión ary de asociatividad se llama un grupo n-aria .

Cuasigrupos de derecha e izquierda

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Marzo de 2011 )

Un cuasigrupo derecho ( Q , ∗, /) es un álgebra de tipo (2,2) que satisface ambas identidades: y = ( y / x ) ∗ x ;y = ( y ∗ x ) / x .

De manera similar, un cuasigrupo izquierdo ( Q , ∗, \) es un álgebra de tipo (2,2) que satisface ambas identidades: y = x ∗ ( x \ y );y = x \ ( x ∗ y ).

Número de cuasigrupos y bucles pequeños

Artículo principal: Cuadrados latinos pequeños y cuasigrupos

El número de clases de isomorfismos de pequeños cuasigrupos (secuencia A057991 en la OEIS ) y bucles (secuencia A057771 en la OEIS ) se da aquí: ^[8]

Pedido	Número de cuasigrupos	Numero de bucles
0	1	0
1	1	1
2	1	1
3	5	1
4	35	2
5	1.411	6
6	1,130,531	109
7	12,198,455,835	23,746
8	2.697.818.331.680.661	106,228,849
9	15,224,734,061,438,247,321,497	9.365.022.303.540
10	2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513	20,890,436,195,945,769,617
11	19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025	1,478,157,455,158,044,452,849,321,016

Ver también

• Anillo de división : un anillo en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo.
• Semigroup : una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación binaria asociativa
• Monoide : un semigrupo con un elemento de identidad.
• Anillo ternario plano : tiene una estructura de bucle aditivo y multiplicativo
• Problemas en la teoría de bucles y la teoría de cuasigrupos
• Matemáticas del Sudoku

Notas

1. Smith, Jonathan DH (2007). Una introducción a los cuasigrupos y sus representaciones . Boca Raton, Fla. [Ua]: Chapman & Hall / CRC. págs.  3 , 26-27. ISBN 978-1-58488-537-5.
2. H. Rubin; JE Rubin (1985). Equivalentes del axioma de elección, II . Elsevier. pag. 109 .
3. Pflugfelder 1990 , p. 2
4. Bruck , 1971 , p. 1
5. Damm, H. Michael (2007). "Cuasigrupos totalmente antisimétricos para todos los órdenes n ≠ 2,6" . Matemáticas discretas . 307 (6): 715–729. doi : 10.1016 / j.disc.2006.05.033 .
6. Colbourn y Dinitz 2007 , p. 497, definición 28.12
7. Smith, Jonathan DH; Romanowska, Anna B. (1999), "Ejemplo 4.1.3 (Bucle conmutativo de Moufang de Zassenhaus)" , Álgebra posmoderna , Matemáticas puras y aplicadas, Nueva York: Wiley, p. 93, doi : 10.1002 / 9781118032589 , ISBN 978-0-471-12738-3, MR  1673047.
8. McKay, Brendan D .; Meynert, Alison; Myrvold, Wendy (2007). "Pequeños cuadrados latinos, cuasigrupos y bucles" (PDF) . J. Comb. Des . 15 (2): 98-119. CiteSeerX 10.1.1.151.3043 . doi : 10.1002 / jcd.20105 . Zbl 1112.05018 .   

Referencias

• Akivis, MA; Goldberg, Vladislav V. (2001). "Solución del problema de Belousov". Discussiones Mathematicae - Álgebra general y aplicaciones . 21 (1): 93-103. arXiv : matemáticas / 0010175 . doi : 10.7151 / dmgaa.1030 . S2CID  18421746 .
• Bruck, RH (1971) [1958]. Una encuesta de sistemas binarios . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-03497-3.
• Chein, O .; Pflugfelder, HO; Smith, JDH, eds. (1990). Cuasigrupos y bucles: teoría y aplicaciones . Berlín: Heldermann. ISBN 978-3-88538-008-5.
• Colbourn, Charles J .; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Manual de diseños combinatorios (2a ed.), Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
• Dudek, WA; Glazek, K. (2008). "Alrededor del teorema de Hosszu-Gluskin para grupos n-arios". Matemáticas discretas . 308 (21): 4861–76. arXiv : matemáticas / 0510185 . doi : 10.1016 / j.disc.2007.09.005 . S2CID  9545943 .
• Pflugfelder, HO (1990). Cuasigrupos y bucles: Introducción . Berlín: Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8.
• Smith, JDH (2007). Introducción a los cuasigrupos y sus representaciones . Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 978-1-58488-537-5.
• Shcherbacov, VA (2017). Elementos de la teoría y aplicaciones de los cuasigrupos . Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 978-1-4987-2155-4.
• Smith, JDH; Romanowska, Anna B. (1999). Álgebra posmoderna . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-12738-3.

Enlaces externos

• cuasigrupos
• "Cuasi-grupo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]