En cálculos astronómicos y geodésicos , los cracovianos son una conveniencia administrativa introducida en la década de 1930 por Tadeusz Banachiewicz para resolver sistemas de ecuaciones lineales a mano. Dichos sistemas se pueden escribir como A x = b en notación matricial donde x y b son vectores columna y la evaluación de b requiere la multiplicación de las filas de A por el vector x .
Los cracovianos introdujeron la idea de usar la transposición de A , AT , y multiplicar las columnas de AT por la columna x . Esto equivale a la definición de un nuevo tipo de multiplicación de matrices denotada aquí por '∧'. Así x ∧ UN T = segundo = UN x . El producto de Cracovia de dos matrices, digamos A y B , está definido por A ∧ B = B T A , donde B T y Ase suponen compatibles para el tipo común ( Cayley ) de multiplicación de matrices.
Como ( AB ) T = B T A T , los productos ( A ∧ B ) ∧ C y A ∧ ( B ∧ C ) generalmente serán diferentes; por lo tanto, la multiplicación de Cracovia no es asociativa . Los cracovianos son un ejemplo de cuasigrupo .
Los cracovianos adoptaron una convención columna-fila para designar elementos individuales en oposición a la convención estándar fila-columna del análisis matricial. Esto facilitó la multiplicación manual, ya que era necesario seguir dos columnas paralelas (en lugar de una columna vertical y una fila horizontal en la notación matricial). También aceleró los cálculos por computadora, porque los elementos de ambos factores se usaron en un orden similar, lo que era más compatible con la memoria de acceso secuencial en las computadoras de aquellos tiempos, principalmente memoria de cinta magnética y memoria de tambor . El uso de cracovianos en astronomía se desvaneció a medida que las computadoras con mayor memoria de acceso aleatorio se generalizaron. Cualquier referencia moderna a ellos está relacionada con su multiplicación no asociativa.
En R , el efecto deseado se puede lograr a través de la crossprod()función. Específicamente, el producto de Cracoviano de las matrices A y B se puede obtener como crossprod(B, A).