regla de Cramer

En álgebra lineal , la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas, válida siempre que el sistema tenga solución única. Expresa la solución en términos de los determinantes de la matriz de coeficientes (cuadrada) y de las matrices obtenidas de ella reemplazando una columna por el vector columna de los lados derechos de las ecuaciones. Lleva el nombre de Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla para un número arbitrario de incógnitas en 1750, ^[1]^[2] aunque Colin Maclaurin también publicó casos especiales de la regla en 1748^[3] (y posiblemente lo sabía ya en 1729). ^[4]^[5]^[6]

La regla de Cramer implementada de manera ingenua es computacionalmente ineficiente para sistemas de más de dos o tres ecuaciones. ^[7] En el caso de $n$ ecuaciones en $n$ incógnitas, requiere el cálculo de $n + 1$ determinantes, mientras que la eliminación gaussiana produce el resultado con la misma complejidad computacional que el cálculo de un único determinante. ^[8]^[9]^{[ verificación necesaria ]} La regla de Cramer también puede ser numéricamente inestable incluso para sistemas 2×2. ^[10] Sin embargo, recientemente se ha demostrado que la regla de Cramer se puede implementar en O( n³ ) tiempo, ^[11] que es comparable a métodos más comunes de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, como la eliminación gaussiana (que constantemente requiere 2,5 veces más operaciones aritméticas para todos los tamaños de matriz), mientras que muestra una estabilidad numérica comparable en la mayoría de los casos.

Considere un sistema de $n$ ecuaciones lineales para $n$ incógnitas, representadas en forma de multiplicación de matrices de la siguiente manera:

donde la matriz $A$ $n \times n$ tiene un determinante distinto de cero, y el vector es el vector columna de las variables. Entonces el teorema establece que en este caso el sistema tiene solución única, cuyos valores individuales para las incógnitas están dados por: $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots,x_{n})^{\mathsf {T}}$

donde es la matriz formada al reemplazar la $i$ -ésima columna de $A$ por el vector columna $b$ . ${\ estilo de visualización A_ {i}}$

donde la matriz $A de$ $n \times n$ tiene un determinante distinto de cero, y $X$ , $B$ son matrices de $n$ $\times$ $m .$ Dadas las sucesiones y , sea la submatriz $k$ $\times$ $k$ $de X$ con filas en y columnas en . Sea la matriz $n$ $\times$ $n$ formada al reemplazar la columna de $A$ por la columna de $B$ , para todos . Luego $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n$ $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq m$ $X_{I,J}$ $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ $J:=(j_{1},\ldots ,j_{k})$ $A_{B}(I,J)$ $i_{s}$ $j_{s}$ $s=1,\ldots ,k$

Interpretación geométrica de la regla de Cramer. Las áreas del segundo y tercer paralelogramos sombreados son iguales y el segundo es multiplicado por el primero. De esta igualdad se sigue la regla de Cramer.

x_{1}