En álgebra lineal , una matriz de coeficientes es una matriz que consta de los coeficientes de las variables en un conjunto de ecuaciones lineales . La matriz se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales .
Matriz de coeficientes
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas se puede escribir como
dónde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema. La matriz de coeficientes es la matriz m × n con el coeficientecomo la entrada ( i , j ): [1]
Entonces, el conjunto de ecuaciones anterior se puede expresar de manera más sucinta como
donde A es la matriz de coeficientes y b es el vector columna de términos constantes.
Relación de sus propiedades con las propiedades del sistema de ecuaciones.
Según el teorema de Rouché-Capelli , el sistema de ecuaciones es inconsistente , lo que significa que no tiene soluciones, si el rango de la matriz aumentada (la matriz de coeficientes aumentada con una columna adicional que consiste en el vector b ) es mayor que el rango del coeficiente matriz. Si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango r es igual al número n de variables. De lo contrario, la solución general tiene n - r parámetros libres; por tanto, en tal caso hay una infinidad de soluciones, que se pueden encontrar imponiendo valores arbitrarios a n - r de las variables y resolviendo el sistema resultante para su solución única; las diferentes opciones de las variables que se van a corregir y los diferentes valores fijos de las mismas dan diferentes soluciones al sistema.
Ecuaciones dinámicas
Una ecuación en diferencias matriciales de primer orden con término constante se puede escribir como
donde A es n × n y y y c son n × 1. Este sistema converge a su nivel de estado estacionario de y si y sólo si los valores absolutos de todos los n valores propios de A son de menos de 1.
Una ecuación diferencial matricial de primer orden con término constante se puede escribir como
Este sistema es estable si y solo si todos los n valores propios de A tienen partes reales negativas .
Referencias
- ^ Liebler, Robert A. (diciembre de 2002). Álgebra básica de matrices con algoritmos y aplicaciones . Prensa CRC . págs. 7-8. ISBN 9781584883333. Consultado el 13 de mayo de 2016 .