Configuración Cremona–Richmond
En matemáticas, la configuración de Cremona-Richmond es una configuración de 15 líneas y 15 puntos, que tiene 3 puntos en cada línea y 3 líneas a través de cada punto, y que no contiene triángulos. Fue estudiado por Cremona ( 1877 ) y Richmond ( 1900 ). Es un cuadrilátero generalizado con parámetros (2,2). Su gráfico de Levi es el gráfico de Tutte-Coxeter . [1]
Los puntos de la configuración Cremona-Richmond pueden identificarse con los pares desordenados de elementos de un conjunto de seis elementos; estos pares se llaman duads . De manera similar, las líneas de la configuración pueden identificarse con las 15 formas de dividir los mismos seis elementos en tres pares; estas particiones se denominan sintemas . Así identificado, un punto de la configuración es incidente a una línea de la configuración si y sólo si la duada correspondiente al punto es uno de los tres pares en el sintema correspondiente a la línea. [1]
El grupo simétrico de todas las permutaciones de los seis elementos que subyacen a este sistema de duadas y sintemas actúa como un grupo de simetría de la configuración de Cremona-Richmond y da el grupo de automorfismos de la configuración. Cada bandera de la configuración (un par de puntos y líneas incidentes) puede llevarse a cualquier otra bandera por una simetría en este grupo. [1]
La configuración Cremona-Richmond es autodual : es posible intercambiar puntos por líneas conservando todas las incidencias de la configuración. Esta dualidad le da al gráfico de Tutte-Coxeter simetrías adicionales más allá de las de la configuración de Cremona-Richmond, que intercambian los dos lados de su bipartición. Estas simetrías corresponden a los automorfismos exteriores del grupo simétrico en seis elementos.
Cualesquiera seis puntos en posición general en el espacio de cuatro dimensiones determinan 15 puntos donde una línea que pasa por dos de los puntos se cruza con el hiperplano que pasa por los otros cuatro puntos; así, las duadas de los seis puntos se corresponden uno por uno con estos 15 puntos derivados. Cualesquiera tres duadas que juntas forman un sintema determinan una línea, la línea de intersección de los tres hiperplanos que contiene dos de las tres duadas en el synthema, y esta línea contiene cada uno de los puntos derivados de sus tres duadas. Así, las duadas y los sintemas de la configuración abstracta se corresponden uno por uno, de manera preservadora de la incidencia, con estos 15 puntos y 15 líneas derivadas de los seis puntos originales, que forman una realización de la configuración. La misma realización puede proyectarse en el espacio euclidiano o en el plano euclidiano.[1]
La configuración Cremona-Richmond también tiene una familia de realizaciones de un parámetro en el plano con simetría cíclica de orden cinco. [2]
