En geometría , un cuadrilátero generalizado es una estructura de incidencia cuya característica principal es la falta de triángulos (pero que contiene muchos cuadrángulos). Un cuadrilátero generalizado es por definición un espacio polar de rango dos. Son los n-gons generalizados con n = 4 y cerca de 2n-gons con n = 2. También son precisamente las geometrías parciales pg ( s , t , α) con α = 1.
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Definición
Un cuadrilátero generalizado es una estructura de incidencia ( P , B , I), con I ⊆ P × B una relación de incidencia , que satisface ciertos axiomas . Los elementos de P son por definición los puntos del cuadrilátero generalizado, los elementos de B las líneas . Los axiomas son los siguientes:
- Hay una s ( s ≥ 1) tal que en cada línea hay exactamente s + 1 puntos. Hay como máximo un punto en dos líneas distintas.
- Hay una t ( t ≥ 1) tal que a través de cada punto hay exactamente t + 1 líneas. Hay como máximo una línea que pasa por dos puntos distintos.
- Por cada punto p no en una línea L , hay una línea única M y un punto único q , de modo que p está en M , y q en M y L .
( s , t ) son los parámetros del cuadrilátero generalizado. Se permite que los parámetros sean infinitos. Si bien s o t es uno, el cuadrángulo generalizada se llama trivial . Por ejemplo, la cuadrícula de 3x3 con P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} es un GQ trivial con s = 2 y t = 1. Un cuadrilátero generalizado con parámetros ( s , t ) a menudo se denota por GQ ( s , t ).
El cuadrilátero generalizado no trivial más pequeño es GQ (2,2) , cuya representación ha sido apodada "el tapete" por Stan Payne en 1973.
Propiedades
Gráficos
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/5/59/GQ24.svg/250px-GQ24.svg.png)
Hay dos gráficos interesantes que se pueden obtener de un cuadrilátero generalizado.
- El gráfico de colinealidad que tiene como vértices los puntos de un cuadrángulo generalizado, con los puntos colineales conectados. Este gráfico es un gráfico fuertemente regular con parámetros ((s + 1) (st + 1), s (t + 1), s-1, t + 1) donde (s, t) es el orden del GQ.
- El gráfico de incidencia cuyos vértices son los puntos y las líneas del cuadrilátero generalizado y dos vértices son adyacentes si uno es un punto, el otro una línea y el punto está en la línea. El gráfico de incidencia de un cuadrángulo generalizada se caracteriza por ser una conectada , gráfico bipartito con diámetro de cuatro y la circunferencia ocho. Por tanto, es un ejemplo de jaula . Los gráficos de incidencia de configuraciones se denominan hoy en día generalmente gráficos de Levi , pero el gráfico de Levi original era el gráfico de incidencia del GQ (2,2).
Dualidad
Si ( P , B , I) es un cuadrilátero generalizado con parámetros ( s , t ), entonces ( B , P , I −1 ), con I −1 la relación de incidencia inversa, también es un cuadrilátero generalizado. Este es el cuadrilátero generalizado dual . Sus parámetros son ( t , s ). Incluso si s = t , la estructura dual no necesita ser isomórfica con la estructura original.
Cuadriláteros generalizados con líneas de tamaño 3
Hay precisamente cinco cuadrángulos generalizados (posiblemente degenerados) donde cada línea tiene tres puntos incidentes con ella, el cuadrilátero con el conjunto de líneas vacías, el cuadrilátero con todas las líneas a través de un punto fijo correspondiente al gráfico de molino de viento Wd (3, n) , cuadrícula de tamaño 3x3, el cuadrilátero GQ (2,2) y el exclusivo GQ (2,4). Estos cinco cuadrángulos corresponden a los cinco sistemas de raíces en las clases ADE A n , D n , E 6 , E 7 y E 8 , es decir, los sistemas de raíces simplemente entrelazados. Consulte [1] y. [2]
Cuadriláteros clásicos generalizados
Al mirar los diferentes casos para espacios polares de rango al menos tres, y extrapolarlos al rango 2, uno encuentra estos cuadrángulos generalizados (finitos):
- Un cuadrico hiperbólico , un cuadrico parabólico y una cuadricula elíptica son las únicas cuadrículas posibles en espacios proyectivos sobre campos finitos con índice proyectivo 1. Encontramos estos parámetros respectivamente:
- (esto es solo una cuadrícula)
- Una variedad hermitiana tiene índice proyectivo 1 si y solo si n es 3 o 4. Encontramos:
- Una polaridad simpléctica en tiene un subespacio isotrópico máximo de dimensión 1 si y solo si . Aquí, encontramos un cuadrilátero generalizado, con .
El cuadrilátero generalizado derivado de es siempre isomorfo con el dual de , y ambos son auto-duales y, por lo tanto, isomorfos entre sí si y solo si incluso.
Ejemplos no clásicos
- Sea O un hiperval encon q un poder primo par , e incrustar ese plano proyectivo (desarguesiano) dentro . Ahora considere la estructura de incidencia donde los puntos son todos puntos que no están en , las lineas son las que no estan en , intersección en un punto de O , y la incidencia es la natural. Este es un cuadrilátero generalizado (q-1, q + 1) .
- Sea q una potencia prima (par o impar) y considere una polaridad simpléctica en . Elija un punto p arbitrario y defina. Dejemos que las líneas de nuestra estructura de incidencia sean todas líneas absolutas, no enjunto con todas las líneas a través de p que no están en, y deje que los puntos sean todos puntos de excepto aquellos en . La incidencia vuelve a ser la natural. Obtenemos una vez más un cuadrángulo generalizado (q-1, q + 1)
Restricciones sobre los parámetros
Al usar cuadrículas y cuadrículas duales, cualquier entero z , z ≥ 1 permite cuadrángulos generalizados con parámetros (1, z ) y ( z , 1). Aparte de eso, hasta ahora solo se han encontrado posibles los siguientes parámetros, con q una potencia prima arbitraria :
- y
- y
- y
Referencias
- ^ Cameron PJ; Goethals, JM; Seidel, JJ; Shult, gráficos de líneas EE , sistemas de raíces y geometría elíptica
- ^ http://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/genq.pdf
- SE Payne y JA Thas . Cuadrángulos finitos generalizados. Notas de investigación en matemáticas, 110. Pitman (Programa de publicación avanzada), Boston, MA, 1984. vi + 312 págs. ISBN 0-273-08655-3 , enlace http://cage.ugent.be/~bamberg/FGQ. pdf