En la teoría del orden , una disciplina dentro de las matemáticas, un par crítico es un par de elementos en un conjunto parcialmente ordenado que son incomparables pero que podrían hacerse comparables sin requerir ningún otro cambio en el orden parcial.
Formalmente, sea P = ( S , ≤) un conjunto parcialmente ordenado. Entonces, un par crítico es un par ordenado ( x , y ) de elementos de S con las siguientes tres propiedades:
- x y y son incomparable en P ,
- para cada z en S , si z < x entonces z < y , y
- para cada z en S , si y < z entonces x < z .
Si ( x , y ) es un par crítico, entonces la relación binaria obtenida de P al sumar la relación simple x ≤ y también es un orden parcial. Las propiedades requeridas de los pares críticos aseguran que, cuando se suma la relación x ≤ y , la adición no causa ninguna violación de la propiedad transitiva .
Se dice que un conjunto R de extensiones lineales de P invierte un par crítico ( x , y ) en P si existe una extensión lineal en R para la cual y ocurre antes que x . Esta propiedad puede usarse para caracterizar a los realizadores de órdenes parciales finitos: Un conjunto R no vacío de extensiones lineales es un realizador si y solo si invierte cada par crítico.
Referencias
- Trotter, WT (1992), Combinatoria y conjuntos parcialmente ordenados: teoría de la dimensión , Johns Hopkins Series in Mathematical Sciences, Baltimore: Johns Hopkins Univ. prensa.