Cadena (topología algebraica)

En topología algebraica , una cadena k es una combinación lineal formal de las celdas k en un complejo de celdas . En los complejos simpliciales (respectivamente, complejos cúbicos ), k -cadenas son combinaciones de k -simplicios (respectivamente, k -cubos), ^{[1] [2] [3]} pero no necesariamente conectados. Las cadenas se utilizan en homología ; los elementos de un grupo de homología son clases de equivalencia de cadenas.

Para un complejo simplicial , el grupo de cadenas de está dado por:${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización C_ {n} (X)}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización X}$

${\displaystyle C_{n}(X)=\{\sum \limits _{i}m_{i}\sigma _{i}|m_{i}\in \mathbb {Z} \}}$

donde son -simples de . Tenga en cuenta que cualquier elemento no es necesario para ser un complejo simplicial conexo.${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{n}(X)}$

La integración se define en cadenas tomando la combinación lineal de integrales sobre los simples en la cadena con coeficientes (que normalmente son números enteros). El conjunto de todas las k -cadenas forma un grupo y la secuencia de estos grupos se denomina cadena compleja .

El límite de una cadena es la combinación lineal de los límites de los simples en la cadena. El límite de una k -cadena es una ( k −1)-cadena. Tenga en cuenta que el límite de un simplex no es un simplex, sino una cadena con coeficientes 1 o −1; por lo tanto, las cadenas son el cierre de simples bajo el operador de límite.

El límite de una curva poligonal es una combinación lineal de sus nodos; en este caso, alguna combinación lineal de A ₁ a A ₆ . Suponiendo que todos los segmentos están orientados de izquierda a derecha (en orden creciente de A _k a A _{k +1} ), el límite es A ₆ − A ₁ .

Una curva poligonal cerrada, suponiendo una orientación constante, tiene un límite nulo.