En matemáticas , un conjunto cúbico complejo o cúbico es un conjunto compuesto por puntos , segmentos de línea , cuadrados , cubos y sus contrapartes n- dimensionales . Se utilizan de forma análoga a los complejos simpliciales y complejos CW en el cálculo de la homología de espacios topológicos .
Definiciones
Un intervalo elemental es un subconjunto de la forma
para algunos . Un cubo elemental es el producto finito de intervalos elementales, es decir
dónde son intervalos elementales. De manera equivalente, un cubo elemental es cualquier traslación de un cubo unitario incrustado en el espacio euclidiano (para algunos con ). [1] Un conjuntoes un complejo cúbico (o conjunto cúbico ) si se puede escribir como una unión de cubos elementales (o posiblemente, es homeomorfo para tal conjunto). [2]
Terminología relacionada
Los intervalos elementales de longitud 0 (que contienen un solo punto) se denominan degenerados , mientras que los de longitud 1 son no degenerados . La dimensión de un cubo es el número de intervalos no degenerados en, denotado . La dimensión de un complejo cúbico es la dimensión más grande de cualquier cubo en .
Si y son cubos elementales y , luego es una cara de. Si es una cara de y , luego es una cara adecuada de. Si es una cara de y , luego es una cara principal de.
Topología algebraica
En topología algebraica, los complejos cúbicos suelen ser útiles para cálculos concretos. En particular, existe una definición de homología para complejos cúbicos que coincide con la homología singular , pero es computable .
Ver también
Referencias
- ^ Werman, Michael; Wright, Matthew L. (1 de julio de 2016). "Volúmenes intrínsecos de complejos cúbicos aleatorios". Geometría discreta y computacional . 56 (1): 93-113. arXiv : 1402.5367 . doi : 10.1007 / s00454-016-9789-z . ISSN 0179-5376 .
- ^ Kaczynski, Tomasz (2004). Homología computacional . Mischaikow, Konstantin Michael ,, Mrozek, Marian. Nueva York: Springer. ISBN 9780387215976. OCLC 55897585 .