El aprendizaje de DeGroot se refiere a un tipo de proceso de aprendizaje social basado en una regla empírica. La idea fue expresada en su forma general por el estadístico estadounidense Morris H. DeGroot ; [1] los antecedentes fueron articulados por John RP French [2] y Frank Harary. [3] El modelo se ha utilizado en física , informática y más ampliamente en la teoría de redes sociales . [4]
Configuración y proceso de aprendizaje
Toma una sociedad de agentes donde todos tienen una opinión sobre un tema, representado por un vector de probabilidades . Los agentes no obtienen nueva información sobre la que puedan actualizar sus opiniones pero sí se comunican con otros agentes. Los vínculos entre los agentes (quién sabe a quién) y el peso que dan a las opiniones de los demás está representado por una matriz de confianza. dónde es el peso de ese agente se pone agente Opinión de. La matriz de confianza es, por tanto en una relación de uno a uno con una ponderada , gráfico dirigido donde hay un borde entre y si y solo si . La matriz de confianza es estocástica , sus filas constan de números reales no negativos, y cada fila suma 1.
Formalmente, las creencias se actualizan en cada período según
entonces el Las opiniones del período están relacionadas con las opiniones iniciales de
Convergencia de creencias y consenso
Una cuestión importante es si las creencias convergen hasta un límite y entre sí a largo plazo. Como la matriz de confianza es estocástica , los resultados estándar de la teoría de la cadena de Markov se pueden usar para establecer condiciones bajo las cuales el límite
existe para cualquier creencia inicial . Los siguientes casos se tratan en Golub y Jackson [5] (2010).
Caso fuertemente conectado
Si el gráfico de la red social (representado por la matriz de confianza) está fuertemente conectado , la convergencia de creencias es equivalente a cada una de las siguientes propiedades:
- el gráfico representado por es aperiódico
- hay un vector propio izquierdo único de correspondiente al valor propio 1 cuyas entradas suman 1 tal que, para cada, para cada dónde denota el producto escalar .
La equivalencia entre los dos últimos es una consecuencia directa del teorema de Perron-Frobenius .
Caso general
No es necesario tener una red social fuertemente conectada para tener creencias convergentes, sin embargo, la igualdad de creencias limitantes no se mantiene en general.
Decimos que un grupo de agentes está cerrado si por alguna, sólo si . Las creencias son convergentes si y solo si cada conjunto de nodos (que representan individuos) que está fuertemente conectado y cerrado también es aperiódico .
Consenso
Un grupo de los individuos se dice que llega a un consenso si para cualquier . Esto significa que, como resultado del proceso de aprendizaje, en el límite tienen la misma creencia sobre el sujeto.
Con una red aperiódica y fuertemente conectada, todo el grupo llega a un consenso. En general, cualquier grupo cerrado y fuertemente conectadode individuos alcanza un consenso para cada vector inicial de creencias si y sólo si es aperiódico. Si, por ejemplo, hay dos grupos que satisfacen estos supuestos, llegan a un consenso dentro de los grupos, pero no necesariamente hay un consenso a nivel de la sociedad.
Influencia social
Tome una red social aperiódica y fuertemente conectada . En este caso, la creencia limitante común está determinada por las creencias iniciales a través de
dónde es el vector propio izquierdo de longitud unitaria única decorrespondiente al valor propio 1. El vectormuestra las ponderaciones que los agentes asignan a las creencias iniciales de los demás en el límite de consenso. Por lo tanto, cuanto mayor es, mayor influencia individual tiene en la creencia de consenso.
La propiedad del vector propio implica que
Esto significa que la influencia de es un promedio ponderado de la influencia de esos agentes que prestan atención a , con ponderaciones de su nivel de confianza. De ahí que los agentes influyentes se caractericen por tener la confianza de otros individuos con alta influencia.
Ejemplos de
Estos ejemplos aparecen en Jackson [4] (2008).
Convergencia de creencias
Considere una sociedad de tres individuos con la siguiente matriz de confianza:
Por lo tanto, la primera persona pondera las creencias de las otras dos por igual, mientras que la segunda escucha solo a la primera, la tercera solo al segundo individuo. Para esta estructura de confianza social, el límite existe y es igual
entonces el vector de influencia es y la creencia de consenso es . En palabras, independientemente de las creencias iniciales, los individuos llegan a un consenso donde la creencia inicial de la primera y la segunda persona tiene una influencia dos veces mayor que la de la tercera.
Creencias no convergentes
Si cambiamos el ejemplo anterior de forma que la tercera persona también escuche exclusivamente a la primera, tenemos la siguiente matriz de confianza:
En este caso para cualquier tenemos
y
entonces no existe y las creencias no convergen en el límite. Intuitivamente, 1 se actualiza en función de las creencias de 2 y 3, mientras que 2 y 3 se actualizan únicamente en función de la creencia de 1, por lo que intercambian sus creencias en cada período.
Propiedades asintóticas en las grandes sociedades: sabiduría
Es posible examinar el resultado del proceso de aprendizaje de DeGroot en sociedades grandes, es decir, en el límite.
Deje que el tema sobre el que la gente tiene opiniones sea un "estado verdadero" . Suponga que los individuos tienen señales ruidosas independientes de (ahora el superíndice se refiere al tiempo, el argumento al tamaño de la sociedad). Asume eso para todos la matriz de confianza es tal que las creencias limitantes existe independientemente de las creencias iniciales. Entonces la secuencia de sociedadesse llama sabio si
dónde denota convergencia en probabilidad . Esto significa que si la sociedad crece sin límites, con el tiempo tendrán una creencia común y precisa sobre el tema incierto.
Se puede dar una condición necesaria y suficiente para la sabiduría con la ayuda de vectores de influencia . Una secuencia de sociedades es sabia si y solo si
es decir, la sociedad es sabia precisamente cuando incluso la influencia del individuo más influyente se desvanece en el límite de la gran sociedad. Para más caracterización y ejemplos, consulte Golub y Jackson [5] (2010).
Referencias
- ^ DeGroot, Morris H. 1974. “ Alcanzando un consenso. ” Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística , 69 (345): 118–21.
- ^ Francés, John RP 1956. "Una teoría formal del poder social" Psychological Review , 63: 181–94.
- ^ Harary, Frank. 1959. “ Un criterio de unanimidad en la teoría del poder social de Francia ” en Dorwin Cartwright (ed.), Estudios sobre el poder social , Ann Arbor, MI: Instituto de Investigación Social.
- ^ a b Jackson, Matthew O. 2008. Redes sociales y económicas. Prensa de la Universidad de Princeton.
- ^ a b Golub, Benjamin y Matthew O. Jackson 2010. "El aprendizaje ingenuo en las redes sociales y la sabiduría de las multitudes ", American Economic Journal: Microeconomics, American Economic Association, vol. 2 (1), páginas 112-49, febrero.