Orden dehornoy

En el área matemática de la teoría de trenzas , el orden de Dehornoy es un orden total invariante a la izquierda en el grupo de trenzas , encontrado por Patrick Dehornoy . ^[1]^[2] El descubrimiento original de Dehornoy del orden en el grupo de trenzas usó cardenales enormes , pero ahora hay varias construcciones más elementales del mismo. ^[3]

Supongamos que son los generadores habituales del grupo trenzado en cuerdas. Definir una palabra -positiva como una trenza que admita al menos una expresión en los elementos y sus inversas, de manera que la palabra contiene , pero no contiene ni para . ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n-1}}$ ${\ Displaystyle B_ {n}}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n-1}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {j} ^ {\ pm 1}}$ ${\ Displaystyle j <i}$

El conjunto de elementos positivos en el orden Dehornoy se define como los elementos que pueden escribirse como una palabra positiva para algunos . Tenemos: ${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {i}}$ ${\ Displaystyle i}$

Estas propiedades implican que si definimos como , obtenemos un orden total invariante a la izquierda en el grupo de trenzas. Por ejemplo, porque la palabra trenzada no es positiva, pero, por las relaciones trenzadas, es equivalente a la palabra positiva , que se encuentra en . ${\ Displaystyle a <b}$ ${\ Displaystyle a ^ {- 1} b \ in P}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} <\ sigma _ {2} \ sigma _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {- 1} \ sigma _ {2} \ sigma _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle P}$

La teoría de conjuntos introduce la existencia hipotética de varias nociones de "hiperinfinidad", como los grandes cardenales . En 1989, se demostró que una de esas nociones, axioma , implica la existencia de una estructura algebraica llamada plataforma acíclica que a su vez implica la decidibilidad del problema verbal para la ley de autodistribución por la izquierda, una propiedad que a priori no está relacionada con grandes cardenales. ^[4]^[5] ${\ Displaystyle I_ {3}}$ ${\ Displaystyle LD: x (yz) = (xy) (xz),}$