En matemáticas , un número cardinal κ se llama enorme si existe una incrustación elemental j : V → M de V en un modelo interno transitivo M con punto crítico κ y
Aquí, α M es la clase de todas las secuencias de longitud α cuyos elementos están en M.
Kenneth Kunen ( 1978 ) introdujo enormes cardenales .
Variantes
En lo que sigue, j n se refiere a la n -ésima iteración de la incrustación elemental j, es decir, j compuesta consigo misma n veces, para un n ordinal finito . Además, <α M es la clase de todas las secuencias de longitud menor que α cuyos elementos están en M. Observe que para las versiones "super", γ debe ser menor que j (κ), no.
κ es casi n-enorme si y solo si hay j : V → M con punto crítico κ y
κ es super casi n-enorme si y solo si para cada γ ordinal hay j : V → M con punto crítico κ, γ
κ es n-enorme si y solo si hay j : V → M con punto crítico κ y
κ es super n-enorme si y solo si para cada γ ordinal hay j : V → M con punto crítico κ, γ
Observe que 0-enorme es lo mismo que cardinal medible ; y 1-enorme es lo mismo que enorme. Un cardinal que satisface uno de los axiomas de rango en rango es n- enorme para todos los n finitos .
La existencia de un cardenal casi enorme implica que el principio de Vopěnka es consistente; más precisamente, cualquier cardenal casi enorme es también cardenal Vopěnka .
Fuerza de consistencia
Los cardenales están organizados en orden creciente de fuerza de consistencia de la siguiente manera:
- casi n- enorme
- super casi n- enorme
- n- enorme
- super n- enorme
- casi n + 1-enorme
La consistencia de un cardenal enorme implica la consistencia de un cardenal supercompacto , sin embargo, el cardenal menos grande es más pequeño que el cardenal menos supercompacto (asumiendo que ambos existen).
ω-enormes cardenales
Se puede intentar definir un cardinal ω-enorme κ como uno tal que una incrustación elemental j: V → M de V en un modelo interno transitivo M con punto crítico κ y λ M ⊆ M , donde λ es el supremo de j n (κ ) para enteros positivos n . Sin embargo, el teorema de inconsistencia de Kunen muestra que tales cardenales son inconsistentes en ZFC, aunque todavía está abierto si son consistentes en ZF. En cambio, un cardinal ω enorme se define como el punto crítico de una incrustación elemental de algún rango V λ + 1 a sí mismo. Esto está estrechamente relacionado con el axioma de rango en rango I 1 .
Ver también
- Lista de propiedades cardinales grandes
- La orden Dehornoy en un grupo de trenzas fue motivada por las propiedades de los cardenales enormes.
Referencias
- Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: Grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2a ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
- Kunen, Kenneth (1978), "Saturated ideales", The Journal of Symbolic Logic , 43 (1): 65–76, doi : 10.2307 / 2271949 , ISSN 0022-4812 , JSTOR 2271949 , MR 0495118.
- Maddy, Penelope (1988), "Believing the Axioms. II" , The Journal of Symbolic Logic , 53 (3): 736-764 (esp. 754-756), doi : 10.2307 / 2274569 , JSTOR 2274569. Una copia de las partes I y II de este artículo con correcciones está disponible en la página web del autor .