Trastorno mental

En matemáticas combinatorias , un trastorno es una permutación de los elementos de un conjunto , tal que ningún elemento aparece en su posición original. En otras palabras, un trastorno es una permutación que no tiene puntos fijos .

El número de desarreglos de un conjunto de tamaño n se conoce como el subfactorial de n o el n -ésimo número de desarreglos o el n -ésimo número de Montmort . Las notaciones para subfactoriales de uso común incluyen ! n, D _n , d _n o n ¡. ^{[1] [2]}

El subfactorial! n es igual al entero más cercano a n !/ e, donde n ! denota el factorial de n y e es el número de Euler . ^[3]

El problema de contar los trastornos fue considerado por primera vez por Pierre Raymond de Montmort ^[4] en 1708; lo resolvió en 1713, al igual que Nicholas Bernoulli aproximadamente al mismo tiempo.

Supongamos que un profesor le dio una prueba a 4 estudiantes, A, B, C y D, y quiere que se califiquen las pruebas de los demás. Por supuesto, ningún estudiante debe calificar su propia prueba. ¿De cuántas maneras podría el profesor devolver las pruebas a los estudiantes para que las calificaran, de modo que ningún estudiante recibiera su propia prueba? De 24 permutaciones posibles (¡4!) para devolver las pruebas,

solo hay 9 trastornos (mostrados en cursiva azul arriba). En cada otra permutación de este conjunto de 4 miembros, al menos un estudiante obtiene su propia prueba (mostrada en rojo negrita).

Número de posibles permutaciones y desarreglos de n elementos. n ! ( n factorial) es el número de n -permutaciones; ! n ( n subfactorial) es el número de desarreglos — n -permutaciones donde todos los n elementos cambian sus lugares iniciales.

tabla de valores
${\ estilo de visualización n}$	permutaciones,${\ estilo de visualización n!}$	Trastornos,${\ estilo de visualización! n}$	${\displaystyle {\frac{!n}{n!}}}$
0	1=1×10 0	1=1×10 0	= 1
1	1=1×10 0	0	= 0
2	2=2×10 0	1=1×10 0	= 0,5
3	6=6×10 0	2=2×10 0	≈0.33333 33333
4	24=2.4×10 1	9=9×10 0	= 0,375
5	120=1.20×10 2	44=4.4×10 1	≈0.36666 66667
6	720=7.20×10 2	265=2.65×10 2	≈0.36805 55556
7	5 040=5.04×10 3	1 854≈1.85×10 3	≈0.36785 71429
8	40 320≈4.03×10 4	14 833≈1.48×10 4	≈0.36788 19444
9	362 880≈3.63×10 5	133 496≈1.33×10 5	≈0.36787 91887
10	3 628 800≈3.63×10 6	1 334 961≈1.33×10 6	≈0.36787 94643
11	39 916 800≈3.99×10 7	14 684 570≈1.47×10 7	≈0.36787 94392
12	479 001 600≈4.79×10 8	176 214 841≈1.76×10 8	≈0.36787 94413
13	6 227 020 800≈6.23×10 9	2 290 792 932≈2.29×10 9	≈0.36787 94412
14	87 178 291 200≈8.72×10 10	32 071 101 049≈3.21×10 10	≈0.36787 94412
15	1 307 674 368 000≈1.31×10 12	481 066 515 734≈4.81×10 11	≈0.36787 94412
dieciséis	20 922 789 888 000≈2.09×10 13	7 697 064 251 745≈7.70×10 12	≈0.36787 94412
17	355 687 428 096 000≈3.56×10 14	130 850 092 279 664≈1.31×10 14	≈0.36787 94412
18	6 402 373 705 728 000≈6.40×10 15	2 355 301 661 033 953≈2.36×10 15	≈0.36787 94412
19	121 645 100 408 832 000≈1.22×10 17	44 750 731 559 645 106≈4.48×10 16	≈0.36787 94412
20	2 432 902 008 176 640 000≈2.43×10 18	895 014 631 192 902 121≈8.95×10 17	≈0.36787 94412
21	51 090 942 171 709 440 000≈5.11×10 19	18 795 307 255 050 944 540≈1.88×10 19	≈0.36787 94412
22	1 124 000 727 777 607 680 000≈1.12×10 21	413 496 759 611 120 779 881≈4.13×10 20	≈0.36787 94412
23	25 852 016 738 884 976 640 000≈2.59×10 22	9 510 425 471 055 777 937 262≈9.51×10 21	≈0.36787 94412
24	620 448 401 733 239 439 360 000≈6.20×10 23	228 250 211 305 338 670 494 289≈2.28×10 23	≈0.36787 94412
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000≈1.55×10 25	5 706 255 282 633 466 762 357 224≈5.71×10 24	≈0.36787 94412
26	403 291 461 126 605 635 584 000 000≈4.03×10 26	148 362 637 348 470 135 821 287 825≈1.48×10 26	≈0.36787 94412
27	10 888 869 450 418 352 160 768 000 000≈1.09×10 28	4 005 791 208 408 693 667 174 771 274≈4.01×10 27	≈0.36787 94412
28	304 888 344 611 713 860 501 504 000 000≈3.05×10 29	112 162 153 835 443 422 680 893 595 673≈1.12×10 29	≈0.36787 94412
29	8 841 761 993 739 701 954 543 616 000 000≈8.84×10 30	3 252 702 461 227 859 257 745 914 274 516≈3.25×10 30	≈0.36787 94412
30	265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000≈2.65×10 32	97 581 073 836 835 777 732 377 428 235 481≈9.76×10 31	≈0.36787 94412

Se destacan los 9 trastornos (de 24 permutaciones).

${\displaystyle \int _{0}^{\infty}(t-1)^{z}e^{-t}dt}$en el plano complejo.