El número e , también conocido como número de Euler , es una constante matemática aproximadamente igual a 2.71828 y se puede caracterizar de muchas maneras. Es la base del logaritmo natural . [1] [2] [3] Es el límite de (1 + 1 / n ) n cuando n se acerca al infinito, expresión que surge en el estudio del interés compuesto . También se puede calcular como la suma de la serie infinita [4] [5]
También es el único número positivo a tal que la gráfica de la función y = a x tiene una pendiente de 1 en x = 0 . [6]
La función exponencial (natural) f ( x ) = e x es la función única que es igual a su propia derivada , con el valor inicial f (0) = 1 (y por lo tanto se puede definir e como f (1) ). El logaritmo natural, o logaritmo de base e , es la función inversa a la función exponencial natural. El logaritmo natural de un número k > 1 se puede definir directamente como el área bajo la curva y = 1 / x entre x = 1 y x = k , en cuyo caso e es el valor de k para el que esta zona es igual a uno (ver imagen). Hay varias otras caracterizaciones .
e se llama a veces número de Euler , en honor al matemático suizo Leonhard Euler (que no debe confundirse con γ , la constante de Euler-Mascheroni , a veces llamada simplemente constante de Euler ), o la constante de Napier . [5] Sin embargo, se dice que la elección de Euler del símbolo e se mantuvo en su honor. [7] La constante fue descubierta por el matemático suizo Jacob Bernoulli mientras estudiaba el interés compuesto. [8] [9]
El número e tiene una importancia eminente en matemáticas, [10] junto con 0, 1, π e i . Los cinco aparecen en una formulación de la identidad de Euler y desempeñan papeles importantes y recurrentes en las matemáticas. [11] [12] Como la constante π , e es irracional (es decir, no se puede representar como una razón de números enteros) y trascendental (es decir, no es una raíz de ningún polinomio distinto de cero con coeficientes racionales). [5] Para 50 lugares decimales, el valor de e es:
Historia
Las primeras referencias a la constante se publicaron en 1618 en la tabla de un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier . [9] Sin embargo, esto no contenía la constante en sí, sino simplemente una lista de logaritmos calculados a partir de la constante. Se supone que la tabla fue escrita por William Oughtred .
El descubrimiento de la constante en sí se le atribuye a Jacob Bernoulli en 1683, [13] [14] quien intentó encontrar el valor de la siguiente expresión (que es igual ae ):
El primer uso conocido de la constante, representada por la letra b , fue en la correspondencia de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. [15] Leonhard Euler introdujo la letra e como base para los logaritmos naturales, escribiendo en una carta a Christian Goldbach el 25 de noviembre de 1731. [16] [17] Euler comenzó a usar la letra e para la constante en 1727 o 1728, en un artículo inédito sobre fuerzas explosivas en cañones, [18] mientras que la primera aparición de e en una publicación fue en Mechanica de Euler (1736). [19] Aunque algunos investigadores utilizaron la letra c en los años siguientes, la letra e fue más común y finalmente se convirtió en estándar. [ cita requerida ]
En matemáticas, el estándar es componer la constante como " e ", en cursiva; la norma ISO 80000-2 : 2019 recomienda la composición tipográfica en forma vertical, pero esto no ha sido validado por la comunidad científica. [ cita requerida ]
Aplicaciones
Interés compuesto
Jacob Bernoulli descubrió esta constante en 1683, mientras estudiaba una pregunta sobre el interés compuesto: [9]
Una cuenta comienza con $ 1.00 y paga el 100 por ciento de interés por año. Si el interés se acredita una vez, al final del año, el valor de la cuenta al final del año será de $ 2.00. ¿Qué sucede si los intereses se calculan y abonan con mayor frecuencia durante el año?
Si el interés se acredita dos veces en el año, la tasa de interés para cada 6 meses será del 50%, por lo que el $ 1 inicial se multiplica por 1,5 dos veces, lo que da como resultado $ 1,00 × 1,5 2 = $ 2,25 al final del año. La capitalización de los rendimientos trimestrales $ 1.00 × 1.25 4 = $ 2.4414 ... , y la capitalización de los rendimientos mensuales $ 1.00 × (1 + 1/12) 12 = $ 2.613035 ... Si hay n intervalos de capitalización , el interés para cada intervalo será 100% / ny el El valor al final del año será $ 1.00 × (1 + 1 / n ) n .
Bernoulli notó que esta secuencia se acerca a un límite (la fuerza de interés ) con n mayores y, por lo tanto, intervalos de composición más pequeños. La capitalización semanal ( n = 52 ) rinde $ 2.692597 ..., mientras que la capitalización diaria ( n = 365 ) rinde $ 2.714567 ... (aproximadamente dos centavos más). El límite a medida que n crece es el número que se conoce como e . Es decir, con capitalización continua , el valor de la cuenta llegará a $ 2.718281828 ...
De manera más general, una cuenta que comienza en $ 1 y ofrece una tasa de interés anual de R , después de t años, producirá e Rt dólares con capitalización continua.
(Tenga en cuenta aquí que R es el equivalente decimal de la tasa de interés expresada como un porcentaje , por lo que para un interés del 5%, R = 5/100 = 0.05 ).
Ensayos de Bernoulli
El número e en sí mismo también tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad , de una manera que no está obviamente relacionada con el crecimiento exponencial. Suponga que un jugador juega una máquina tragamonedas que paga con una probabilidad de uno en n y la juega n veces. Entonces, para n grande , la probabilidad de que el jugador pierda todas las apuestas es aproximadamente 1 / e . Para n = 20 , esto ya es aproximadamente 1 / 2,79.
Este es un ejemplo de un proceso de prueba de Bernoulli . Cada vez que el jugador juega en las máquinas tragamonedas, hay una posibilidad entre n de ganar. Jugar n veces está modelado por la distribución binomial , que está estrechamente relacionada con el teorema del binomio y el triángulo de Pascal . La probabilidad de ganar k veces de n ensayos es:
En particular, la probabilidad de ganar cero veces ( k = 0 ) es
El límite de la expresión anterior, ya que n tiende a infinito, es precisamente 1 / e .
Distribución normal estándar
La distribución normal con media cero y desviación estándar unitaria se conoce como distribución normal estándar , dada por la función de densidad de probabilidad
La restricción de la varianza unitaria (y por lo tanto también la desviación estándar unitaria) da como resultado la 1/2 en el exponente, y la restricción del área total unitaria bajo la curva resultados en el factor . [prueba] Esta función es simétrica alrededor de x = 0 , donde alcanza su valor máximo, y tiene puntos de inflexión en x = ± 1 .
Trastornos
Otra aplicación de e , también descubierta en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Remond de Montmort , está en el problema de los trastornos , también conocido como el problema de la marca del sombrero : [20] n invitados son invitados a una fiesta, y en la puerta, todos los invitados revisan sus sombreros con el mayordomo, quien a su vez coloca los sombreros en n cajas, cada una etiquetada con el nombre de un invitado. Pero el mayordomo no ha preguntado las identidades de los invitados, por lo que coloca los sombreros en cajas seleccionadas al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros se coloque en la caja correcta. Esta probabilidad, denotada por, es:
Como el número n de invitados tiende a infinito, p n se acerca a 1 / e . Además, el número de formas en que se pueden colocar los sombreros en las casillas de modo que ninguno de los sombreros esté en la casilla de la derecha es n ! / E ( redondeado al número entero más cercano para cada n positivo ). [21]
Problemas de planificación óptimos
Una barra de longitud L se divide en n partes iguales. El valor de n que maximiza el producto de las longitudes es entonces [22]
- o
El resultado indicado sigue porque el valor máximo de ocurre en ( Problema de Steiner , discutido a continuación ). La cantidades una medida de información obtenida de un evento que ocurre con probabilidad, de modo que esencialmente la misma división óptima aparece en problemas de planificación óptima como el problema de la secretaria .
Asintóticos
El número e ocurre naturalmente en conexión con muchos problemas que involucran asintóticos . Un ejemplo es la fórmula de Stirling para las asintóticas de la función factorial , en la que aparecen tanto los números e como π :
Como consecuencia,
En cálculo
La principal motivación para introducir el número e , particularmente en cálculo , es realizar cálculo diferencial e integral con funciones exponenciales y logaritmos . [23] Una función exponencial general y = a x tiene una derivada, dada por un límite :
El límite entre paréntesis a la derecha es independiente de la variable x . Su valor resulta ser el logaritmo de una a base de correo . Por lo tanto, cuando el valor de a se establece en e , este límite es igual a 1 , por lo que se llega a la siguiente identidad simple:
En consecuencia, la función exponencial con base e es particularmente adecuada para hacer cálculo. Elegir e (en contraposición a algún otro número como base de la función exponencial) hace que los cálculos que involucran las derivadas sean mucho más simples.
Otra motivación proviene de considerar la derivada de la base, un logaritmo (es decir, log a x ), [24] para x > 0 :
donde se hizo la sustitución u = h / x . El logaritmo en base a de e es 1, si a es igual a e . Tan simbólicamente,
El logaritmo con esta base especial se llama logaritmo natural y se denota como ln ; se comporta bien bajo diferenciación ya que no hay un límite indeterminado para realizar los cálculos.
Por lo tanto, hay dos formas de seleccionar tales números especiales a . Una forma es hacer que la derivada de la función exponencial a x sea igual a a x , y resolver para a . La otra forma es establecer la derivada de la base a logaritmo en 1 / x y resolver para a . En cada caso, se llega a una opción conveniente de base para hacer cálculo. Resulta que estas dos soluciones para a son en realidad lo mismo : el número e .
Caracterizaciones alternativas
También son posibles otras caracterizaciones de e : una es como el límite de una secuencia , otra es la suma de una serie infinita y otras se basan en el cálculo integral . Hasta ahora, se han introducido las siguientes dos propiedades (equivalentes):
- El número e es el número real positivo único tal que.
- El número e es el número real positivo único tal que.
Se puede demostrar que las siguientes cuatro caracterizaciones son equivalentes :
- El numero e es el limite
Similar:
- El número e es la suma de la serie infinita
- donde n ! es el factorial de n . (Por convención.)
- El número e es el número real positivo único tal que
- Si f ( t ) es una función exponencial , entonces la cantidades una constante, a veces llamada constante de tiempo (es el recíproco de la constante de crecimiento exponencial o constante de desintegración ). La constante de tiempo es el tiempo que tarda la función exponencial en aumentar en un factor de e :.
Propiedades
Cálculo
Como en la motivación, la función exponencial e x es importante en parte porque es la función no trivial única que es su propia derivada (hasta la multiplicación por una constante):
y por lo tanto su propia antiderivada también:
Desigualdades
El número e es el número real único tal que
para todo x positivo . [25]
Además, tenemos la desigualdad
para todo x real , con igualdad si y solo si x = 0 . Además, e es la base única de la exponencial para la cual la desigualdad a x ≥ x + 1 es válida para todo x . [26] Este es un caso límite de la desigualdad de Bernoulli .
Funciones de tipo exponencial
El problema de Steiner pide encontrar el máximo global para la función
Este máximo ocurre precisamente en x = e .
El valor de este máximo es 1.4446 6786 1009 7661 3365 ... (con una precisión de 20 decimales).
Como prueba, la desigualdad , desde arriba, evaluado en y simplificando da . Entoncespara todo x positivo . [27]
De manera similar, x = 1 / e es donde ocurre el mínimo global para la función
definido para x positivo . De manera más general, para la función
el máximo global para x positivo ocurre en x = 1 / e para cualquier n <0 ; y el mínimo global ocurre en x = e −1 / n para cualquier n > 0 .
La tetración infinita
- o
converge si y solo si e - e ≤ x ≤ e 1 / e (o aproximadamente entre 0.0660 y 1.4447), debido a un teorema de Leonhard Euler . [28]
Teoría de los números
El número real e es irracional . Euler demostró esto mostrando que su expansión simple de fracción continua es infinita. [29] (Ver también Fourier 's prueba de que e es irracional .)
Además, según el teorema de Lindemann-Weierstrass , e es trascendental , lo que significa que no es una solución de ninguna ecuación polinómica no constante con coeficientes racionales. Fue el primer número que demostró ser trascendental sin haber sido construido específicamente para este propósito (compárese con el número de Liouville ); la prueba la dio Charles Hermite en 1873.
Se conjetura que e es normal , lo que significa que cuando e se expresa en cualquier base, los dígitos posibles en esa base están distribuidos uniformemente (ocurren con igual probabilidad en cualquier secuencia de longitud dada).
Números complejos
La función exponencial e x se puede escribir como una serie de Taylor
Debido a que esta serie es convergente para cada valor complejo de x , se usa comúnmente para extender la definición de e x a los números complejos. Esto, con la serie de Taylor para sin y cos x , permite derivar la fórmula de Euler :
que se cumple para cada complejo x . El caso especial con x = π es la identidad de Euler :
de donde se sigue que, en la rama principal del logaritmo,
Además, usando las leyes de exponenciación,
que es la fórmula de De Moivre .
La expresion
a veces se denomina cis ( x ) .
Las expresiones de sen x y cos x en términos de la función exponencial se pueden deducir:
Ecuaciones diferenciales
La familia de funciones
donde C es cualquier número real, es la solución de la ecuación diferencial
Representaciones
El número e se puede representar de varias formas: como una serie infinita , un producto infinito , una fracción continua o el límite de una secuencia . Dos de estas representaciones, a menudo utilizadas en cursos de introducción al cálculo , son el límite
dado arriba, y la serie
obtenido al evaluar en x = 1 la representación de la serie de potencias anterior de e x .
Menos común es la fracción continua
- [30] [31]
que escrito parece
Esta fracción continua para e converge tres veces más rápido: [ cita requerida ]
Se han probado muchas otras representaciones de series, secuencias, fracciones continuas y productos infinitos de e .
Representaciones estocásticas
Además de las expresiones analíticas exactas para la representación de e , existen técnicas estocásticas para estimar e . Uno de estos enfoques comienza con una secuencia infinita de variables aleatorias independientes X 1 , X 2 ..., extraídas de la distribución uniforme en [0, 1]. Sea V el menor número n tal que la suma de las primeras n observaciones exceda 1:
Entonces el valor esperado de V es e : E ( V ) = e . [32] [33]
Dígitos conocidos
El número de dígitos conocidos de e ha aumentado sustancialmente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al mayor rendimiento de las computadoras como a las mejoras algorítmicas. [34] [35]
Fecha | Dígitos decimales | Computación realizada por |
---|---|---|
1690 | 1 | Jacob Bernoulli [13] |
1714 | 13 | Roger Cotes [36] |
1748 | 23 | Leonhard Euler [37] |
1853 | 137 | William Shanks [38] |
1871 | 205 | William Shanks [39] |
1884 | 346 | J. Marcus Boorman [40] |
1949 | 2.010 | John von Neumann (sobre la ENIAC ) |
1961 | 100,265 | Daniel Shanks y John Wrench [41] |
1978 | 116.000 | Steve Wozniak sobre el Apple II [42] |
Desde aproximadamente 2010, la proliferación de las modernas computadoras de escritorio de alta velocidad ha hecho posible que la mayoría de los aficionados calculen billones de dígitos de e en un tiempo aceptable. Actualmente se ha calculado en 31,415,926,535,897 dígitos. [43]
En la cultura informática
Durante el surgimiento de la cultura de Internet , las personas y las organizaciones a veces rindieron homenaje al número e .
En un ejemplo temprano, el científico informático Donald Knuth dejó que los números de versión de su programa Metafont se acercaran a e . Las versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, etc. [44]
En otro caso, la salida a bolsa de presentación de Google en 2004, en lugar de una cantidad de números típica ronda de dinero, la compañía ha anunciado su intención de elevar 2718281828 USD , que es correo de mil millones de dólares redondeados al dólar más cercano.
Google también fue responsable de una valla publicitaria [45] que apareció en el corazón de Silicon Valley , y más tarde en Cambridge, Massachusetts ; Seattle, Washington ; y Austin, Texas . Decía "{primer número primo de 10 dígitos encontrado en dígitos consecutivos de e } .com". El primer número primo de 10 dígitos en e es 7427466391, que comienza en el dígito 99. [46] Resolver este problema y visitar el sitio web anunciado (ahora desaparecido) condujo a un problema aún más difícil de resolver, que consistía en encontrar el quinto término en la secuencia 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Resultó que la secuencia consistía de números de 10 dígitos encontrados en dígitos consecutivos de e cuyos dígitos suman 49. El quinto término de la secuencia es 5966290435, que comienza en el 127º dígito. [47] La solución de este segundo problema finalmente llevó a una página web de Google Labs donde se invitaba al visitante a enviar un currículum. [48]
Notas
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- ^ a b Jacob Bernoulli consideró el problema de la composición continua de intereses, lo que llevó a una expresión en serie para e . Ver: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Algunas preguntas sobre el interés, con la solución de un problema sobre juegos de azar, propuesto en el Journal des Savants ( Ephemerides Eruditorum Gallicanæ ), en el año (anno) 1685. **), Acta eruditorum , págs. 219-23. En la página 222 , Bernoulli plantea la pregunta: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si credit aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars provideionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Este es un problema de otro tipo: la pregunta es, si algún prestamista invirtiera [una] suma de dinero [a] intereses, deje que se acumule, de modo que [en] cada momento [reciba] [a] parte proporcional de [su] interés anual; ¿cuánto se le debe [al] final del [] año?) Bernoulli construye una serie de potencias para calcular la respuesta, y luego escribe: "... quæ nostra serie [expresión matemática para una serie geométrica] & c. mayor est.… si a = b , debebitur plu quam 2½ a & minus quam 3 a . " (... lo que nuestra serie [una serie geométrica] es mayor [que]. ... si un = b , [el prestamista] se debía más de 2½ una y menos de 3 a .) Si un = b , la serie geométrica reduce a la serie para a × e , entonces 2.5 < e <3. (** La referencia es a un problema que planteó Jacob Bernoulli y que aparece en el Journal des Sçavans de 1685 al pie de la página 314. )
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- ^ https://leibniz.uni-goettingen.de/files/pdf/Leibniz-Edition-III-5.pdf , busque por ejemplo la letra nr. 6
- ^ Lettre XV. Euler à Goldbach, fechado el 25 de noviembre de 1731 en: PH Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Correspondencia matemática y física de algunos geómetras famosos del siglo XVIII), vol. 1, (San Petersburgo, Rusia: 1843), págs. 56–60, véase especialmente pág. 58. De p. 58: "… (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1),…" (… (e denota ese número cuyo logaritmo hiperbólico [es decir, natural] es igual a 1)…)
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Otras lecturas
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enlaces externos
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- "The story of e " , de Robin Wilson en Gresham College , 28 de febrero de 2007 (disponible para descarga de audio y video)
- e Motor de búsqueda 2 mil millones de dígitos de búsqueda e , π y √ 2