En geometría , el defecto ( angular ) (o déficit o deficiencia ) significa la falla de algunos ángulos para sumar la cantidad esperada de 360 ° o 180 °, cuando tales ángulos en el plano euclidiano lo harían. La noción opuesta es el exceso .
En el plano euclidiano, los ángulos alrededor de un punto suman 360 °, mientras que los ángulos interiores en un triángulo suman 180 ° (de manera equivalente, los ángulos exteriores suman 360 °). Sin embargo, en un poliedro convexo los ángulos en un vértice suman menos de 360 °, en un triángulo esférico los ángulos interiores siempre suman más de 180 ° (los ángulos exteriores suman menos de 360 °) y los ángulos en un triángulo hiperbólico siempre suman menos de 180 ° (los ángulos exteriores suman más de 360 °).
En términos modernos, el defecto en un vértice o sobre un triángulo (con menos) es precisamente la curvatura en ese punto o el total (integrado) sobre el triángulo, como lo establece el teorema de Gauss-Bonnet .
Para un poliedro , el defecto en un vértice es igual a 2π menos la suma de todos los ángulos en el vértice (se incluyen todas las caras en el vértice). Si un poliedro es convexo, entonces el defecto de cada vértice es siempre positivo. Si la suma de los ángulos excede una vuelta completa , como ocurre en algunos vértices de muchos poliedros no convexos, entonces el defecto es negativo.
El concepto de defecto se extiende a dimensiones superiores como la cantidad por la cual la suma de los ángulos diedros de las células en un pico no llega a un círculo completo.
El defecto de cualquiera de los vértices de un dodecaedro regular (en el que tres pentágonos regulares se encuentran en cada vértice) es 36 °, o π / 5 radianes, o 1/10 de un círculo. Cada uno de los ángulos mide 108 °; tres de estos se encuentran en cada vértice, por lo que el defecto es 360 ° - (108 ° + 108 ° + 108 °) = 36 °.