Matriz diagonalmente dominante
En matemáticas, se dice que una matriz cuadrada es diagonalmente dominante si, para cada fila de la matriz, la magnitud de la entrada diagonal en una fila es mayor o igual a la suma de las magnitudes de todas las demás (no diagonales). entradas en esa fila. Más precisamente, la matriz A es diagonalmente dominante si
Tenga en cuenta que esta definición utiliza una desigualdad débil y, por lo tanto, a veces se denomina dominancia diagonal débil . Si se usa una desigualdad estricta (>), esto se llama dominancia diagonal estricta . El término dominancia diagonal sin calificar puede significar dominancia diagonal tanto estricta como débil, según el contexto. [1]
La definición en el primer párrafo suma las entradas en cada fila. Por lo tanto, a veces se le llama dominancia diagonal de fila . Si uno cambia la definición para resumir cada columna, esto se llama dominancia diagonal de columna .
Cualquier matriz estrictamente diagonalmente dominante es trivialmente una matriz diagonalmente dominante débilmente encadenada . Las matrices diagonalmente dominantes débilmente encadenadas no son singulares e incluyen la familia de matrices irreduciblemente diagonalmente dominantes . Estas son matrices irreducibles que son débilmente diagonalmente dominantes, pero estrictamente diagonalmente dominantes en al menos una fila.
Una matriz estrictamente diagonalmente dominante (o una matriz irreduciblemente diagonalmente dominante [2] ) no es singular . Este resultado se conoce como el teorema de Levy-Desplanques. [3]
Demostración : Suponga que A es una matriz estrictamente diagonalmente dominante y es un vector distinto de cero tal que . Sea i tal que sea máximo en valor absoluto. Luego
