La reducción dimensional es el límite de una teoría compactada donde el tamaño de la dimensión compacta llega a cero. En física , una teoría en las dimensiones del espacio-tiempo D se puede redefinir en un número menor de dimensiones d , tomando todos los campos como independientes de la ubicación en las dimensiones D - d adicionales .
Por ejemplo, considere una dimensión compacta periódica con periodo L . Sea x la coordenada a lo largo de esta dimensión. Cualquier campo se puede describir como una suma de los siguientes términos:
con A n una constante. Según la mecánica cuántica , dicho término tiene un momento nh / L a lo largo de x , donde h es la constante de Planck . Por lo tanto, cuando L llega a cero, la cantidad de movimiento llega al infinito y también lo hace la energía , a menos que n = 0. Sin embargo, n = 0 da un campo que es constante con respecto a x . Entonces, en este límite, y con energía finita,no dependerá de x .
Este argumento se generaliza. La dimensión compacta impone condiciones de contorno específicas en todos los campos, por ejemplo, condiciones de contorno periódicas en el caso de una dimensión periódica y, típicamente, condiciones de contorno de Neumann o Dirichlet en otros casos. Ahora suponga que el tamaño de la dimensión compacta es L ; entonces, los posibles valores propios bajo gradiente a lo largo de esta dimensión son múltiplos enteros o semientos de 1 / L (dependiendo de las condiciones de contorno precisas). En mecánica cuántica, este valor propio es el momento del campo y, por tanto, está relacionado con su energía. Cuando L → 0, todos los valores propios excepto cero van al infinito, al igual que la energía. Por lo tanto, en este límite, con energía finita, cero es el único valor propio posible bajo gradiente a lo largo de la dimensión compacta, lo que significa que nada depende de esta dimensión.
Ver también
- Compactificación (física)
- Teoría de Kaluza-Klein
- Teoría de cuerdas # Dimensiones extra
- Supergravedad
- Gravedad cuántica