En matemáticas , la condición de frontera de Dirichlet (o primer tipo ) es un tipo de condición de frontera , que lleva el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). [1] Cuando se impone sobre una ecuación diferencial ordinaria o parcial , especifica los valores que una solución debe tomar a lo largo del límite del dominio.
En el método de elementos finitos, la condición de frontera esencial o de Dirichlet se define mediante la forma integral ponderada de una ecuación diferencial. [2] La incógnita dependiente u en la misma forma que la función de ponderación w que aparece en la expresión de frontera se denomina variable primaria , y su especificación constituye la condición de frontera esencial o de Dirichlet.
La cuestión de encontrar soluciones a tales ecuaciones se conoce como el problema de Dirichlet . En las ciencias aplicadas, una condición de frontera de Dirichlet también puede denominarse condición de frontera fija .
Ejemplos de
ODA
Para una ecuación diferencial ordinaria , por ejemplo,
las condiciones de frontera de Dirichlet en el intervalo [ a , b ] toman la forma
donde α y β se dan números.
PDE
Para una ecuación diferencial parcial , por ejemplo,
donde ∇ 2 denota el operador de Laplace , las condiciones de frontera de Dirichlet en un dominio Ω ⊂ R n toman la forma
donde f es una función conocida definida en el límite ∂Ω .
Aplicaciones
Por ejemplo, las siguientes se considerarían condiciones de contorno de Dirichlet:
- En ingeniería mecánica e ingeniería civil ( teoría de la viga ), donde un extremo de una viga se mantiene en una posición fija en el espacio.
- En termodinámica , donde una superficie se mantiene a una temperatura fija.
- En electrostática , donde un nodo de un circuito se mantiene a un voltaje fijo.
- En dinámica de fluidos , la condición de no deslizamiento para fluidos viscosos establece que en un límite sólido, el fluido tendrá velocidad cero en relación con el límite.
Otras condiciones de contorno
Son posibles muchas otras condiciones de frontera, incluida la condición de frontera de Cauchy y la condición de frontera mixta . Este último es una combinación de las condiciones de Dirichlet y Neumann .
Ver también
Referencias
- ^ Cheng, A. y DT Cheng (2005). Herencia e historia temprana del método del elemento de frontera, Análisis de ingeniería con elementos de frontera , 29 , 268-302.
- ^ JN Reddy, ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN EN UNA DIMENSIÓN: MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS, Introducción al método de los elementos finitos , 3ª edición, págs. 110