Aproximación diofántica
En teoría de números , el estudio de la aproximación diofántica se ocupa de la aproximación de números reales por números racionales . Lleva el nombre de Diofanto de Alejandría .
El primer problema era saber qué tan bien se puede aproximar un número real mediante números racionales. Para este problema, un número racional a / b es una "buena" aproximación de un número real α si el valor absoluto de la diferencia entre a / b y α no puede disminuir si se reemplaza a / b por otro número racional de menor tamaño . denominador. Este problema se resolvió durante el siglo XVIII mediante fracciones continuas .
Conociendo las "mejores" aproximaciones de un número dado, el principal problema del campo es encontrar los límites superior e inferior definidos de la diferencia anterior, expresados como una función del denominador . Parece que estos límites dependen de la naturaleza de los números reales a aproximar: el límite inferior para la aproximación de un número racional por otro número racional es mayor que el límite inferior para los números algebraicos , que a su vez es mayor que el límite inferior para todos los números reales. Así, un número real que puede aproximarse mejor que el límite de los números algebraicos es ciertamente un número trascendental .
Este conocimiento permitió a Liouville , en 1844, producir el primer número trascendental explícito. Posteriormente, las pruebas de que π y e son trascendentales se obtuvieron por un método similar.
Las aproximaciones diofánticas y la teoría de números trascendentales son áreas muy cercanas que comparten muchos teoremas y métodos. Las aproximaciones diofánticas también tienen importantes aplicaciones en el estudio de las ecuaciones diofánticas .
Dado un número real α , hay dos formas de definir una mejor aproximación diofántica de α . Para la primera definición, [1] el número racional p / q es una mejor aproximación diofántica de α si
