Mar de Dirac

Theoretical model of physics

Este artículo incluye una lista de referencias generales , pero permanece en gran parte sin verificar porque carece de suficientes citas en línea correspondientes . Ayude a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( Diciembre de 2017 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Mar de Dirac para una partícula masiva.  •   partículas,  •   antipartículas

El mar de Dirac es un modelo teórico del vacío como un mar infinito de partículas con energía negativa . Fue postulado por primera vez por el físico británico Paul Dirac en 1930 ^[1] para explicar los estados cuánticos anómalos de energía negativa predichos por la ecuación de Dirac para electrones relativistas (electrones que viajan cerca de la velocidad de la luz). ^[2] El positrón , la contraparte de antimateria del electrón , fue originalmente concebido como un agujero. en el mar de Dirac, antes de su descubrimiento experimental en 1932. ^{[nb 1]}

En la teoría de agujeros, las soluciones con factores de evolución en el tiempo negativos ^{[ aclaración necesaria ]} se reinterpretan como representando el positrón , descubierto por Carl Anderson . La interpretación de este resultado requiere un mar de Dirac, que muestre que la ecuación de Dirac no es simplemente una combinación de relatividad especial y mecánica cuántica , sino que también implica que el número de partículas no se puede conservar. ^[3]

La teoría del mar de Dirac ha sido desplazada por la teoría cuántica de campos , aunque son matemáticamente compatibles.

Orígenes

El físico soviético Yakov Frenkel había desarrollado ideas similares sobre los agujeros en los cristales en 1926, pero no hay indicios de que el concepto se discutiera con Dirac cuando los dos se reunieron en un Congreso de física soviético en el verano de 1928.

Los orígenes del mar de Dirac se encuentran en el espectro de energía de la ecuación de Dirac , una extensión de la ecuación de Schrödinger consistente con la relatividad especial , una ecuación que Dirac había formulado en 1928. Aunque esta ecuación fue extremadamente exitosa para describir la dinámica de los electrones, posee una característica bastante peculiar: para cada estado cuántico que posee una energía positiva E , hay un estado que corresponde con la energía - E . Esta no es una gran dificultad cuando se considera un electrón aislado, porque su energía se conserva y los electrones de energía negativa pueden quedar fuera. Sin embargo, surgen dificultades cuando los efectos de laSe consideran campos electromagnéticos , porque un electrón de energía positiva podría desprender energía emitiendo fotones continuamente , un proceso que podría continuar sin límite a medida que el electrón desciende a estados de energía cada vez más bajos. Sin embargo, los electrones reales claramente no se comportan de esta manera.

La solución de Dirac a esto fue confiar en el principio de exclusión de Pauli . Los electrones son fermiones y obedecen al principio de exclusión, lo que significa que dos electrones no pueden compartir un solo estado de energía dentro de un átomo. Dirac planteó la hipótesis de que lo que consideramos el " vacío " es en realidad el estado en el que se llenan todos los estados de energía negativa y ninguno de los estados de energía positiva. Por tanto, si queremos introducir un solo electrón tendríamos que ponerlo en un estado de energía positiva, ya que todos los estados de energía negativa están ocupados. Además, incluso si el electrón pierde energía al emitir fotones, se le prohibiría caer por debajo de cero.

Dirac señaló además que podría existir una situación en la que todos los estados de energía negativa estén ocupados excepto uno. Este "agujero" en el mar de electrones de energía negativa respondería a los campos eléctricos como si fuera una partícula cargada positivamente. Inicialmente, Dirac identificó este agujero como un protón . Sin embargo, Robert Oppenheimer señaló que un electrón y su agujero podrían aniquilarse entre sí, liberando energía del orden de la energía en reposo del electrón en forma de fotones energéticos; si los huecos fueran protones, los átomos estables no existirían. ^[4] Hermann Weyl también señaló que un agujero debería actuar como si tuviera la misma masacomo un electrón, mientras que el protón es unas dos mil veces más pesado. El problema se resolvió finalmente en 1932, cuando Carl Anderson descubrió el positrón , con todas las propiedades físicas previstas para el agujero de Dirac.

Inelegancia del mar de Dirac

A pesar de su éxito, la idea del mar de Dirac no suele parecer muy elegante a la gente. La existencia del mar implica una carga eléctrica negativa infinita que llena todo el espacio. Para que esto tenga algún sentido, uno debe asumir que el "vacío desnudo" debe tener una densidad de carga positiva infinita que es exactamente cancelada por el mar de Dirac. Dado que la densidad de energía absoluta es inobservable ( aparte de la constante cosmológica) , la densidad de energía infinita del vacío no representa un problema. Solo se pueden observar cambios en la densidad de energía. Geoffrey Landis (autor de " Ondas en el mar de Dirac ", una historia corta de ciencia ficción dura) también señala ^{[ cita requerida ]}que la exclusión de Pauli no significa definitivamente que un mar de Dirac lleno no pueda aceptar más electrones, ya que, como Hilbert aclaró, un mar de extensión infinita puede aceptar nuevas partículas incluso si está lleno. Esto sucede cuando tenemos una anomalía quiral y un instante de calibre .

El desarrollo de la teoría cuántica de campos (QFT) en la década de 1930 hizo posible reformular la ecuación de Dirac de una manera que trata al positrón como una partícula "real" en lugar de la ausencia de una partícula, y hace que el vacío sea el estado en el que no hay partículas. existen partículas en lugar de un mar infinito de partículas. Esta imagen es mucho más convincente, especialmente porque recupera todas las predicciones válidas del mar de Dirac, como la aniquilación electrón-positrón. Por otro lado, la formulación de campo no elimina todas las dificultades planteadas por el mar de Dirac; en particular, el problema del vacío que posee energía infinita .

Expresión matemática

Al resolver la ecuación de Dirac libre,

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=(c{\hat {\boldsymbol {\alpha }}}\cdot {\hat {\boldsymbol {p}}}+mc^{2}{\hat {\beta }})\Psi ,}$$

uno encuentra ^[5]

$${\displaystyle \Psi _{\mathbf {p} \lambda }=N\left({\begin{matrix}U\\{\frac {(c{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {p}})}{mc^{2}+\lambda E_{p}}}U\end{matrix}}\right){\frac {\exp[i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -\varepsilon t)/\hbar ]}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}},}$$

dónde

$${\displaystyle \varepsilon =\pm E_{p},\quad E_{p}=+c{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{2}}},\quad \lambda =\operatorname {sgn} \varepsilon }$$

para soluciones de onda plana con 3 momentos p . Esta es una consecuencia directa de la relación relativista energía-momento

$${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$$

sobre la que se basa la ecuación de Dirac. La cantidad U es un vector de columna constante de 2 × 1 y N es una constante de normalización. La cantidad ε se llama factor de evolución en el tiempo , y su interpretación en roles similares en, por ejemplo, las soluciones de onda plana de la ecuación de Schrödinger , es la energía de la onda (partícula). Esta interpretación no está disponible de inmediato aquí, ya que puede adquirir valores negativos. Una situación similar prevalece para la ecuación de Klein-Gordon . En ese caso, el valor absoluto de εse puede interpretar como la energía de la onda ya que en el formalismo canónico, las ondas con ε negativo en realidad tienen energía positiva E _p . ^[6] Pero este no es el caso de la ecuación de Dirac. La energía en el formalismo canónico asociada con ε negativo es - E _p . ^[7]

Interpretación moderna

La interpretación del mar de Dirac y la interpretación moderna de QFT están relacionadas por lo que se puede pensar como una transformación muy simple de Bogoliubov , una identificación entre los operadores de creación y aniquilación de dos teorías de campo libre diferentes. ^{[ cita requerida ]} En la interpretación moderna, el operador de campo para un espinor de Dirac es una suma de operadores de creación y operadores de aniquilación, en una notación esquemática:

$${\displaystyle \psi (x)=\sum a^{\dagger }(k)e^{ikx}+a(k)e^{-ikx}}$$

Un operador con frecuencia negativa reduce la energía de cualquier estado en una cantidad proporcional a la frecuencia, mientras que los operadores con frecuencia positiva aumentan la energía de cualquier estado.

En la interpretación moderna, los operadores de frecuencia positiva agregan una partícula de energía positiva, que se suma a la energía, mientras que los operadores de frecuencia negativa aniquilan una partícula de energía positiva y reducen la energía. Para un campo fermiónico , el operador de creación da cero cuando el estado con momento k ya está lleno, mientras que el operador de aniquilación da cero cuando el estado con momento k está vacío.${\displaystyle \scriptstyle a^{\dagger }(k)}$${\displaystyle \scriptstyle a(k)}$

Pero entonces es posible reinterpretar al operador de aniquilación como un operador de creación para una partícula de energía negativa . Todavía reduce la energía del vacío, pero desde este punto de vista lo hace creando un objeto de energía negativa. Esta reinterpretación solo afecta a la filosofía. Para reproducir las reglas de cuando la aniquilación en el vacío da cero, la noción de "vacío" y "lleno" debe invertirse para los estados de energía negativa. En lugar de ser estados sin antipartícula, estos son estados que ya están llenos de una partícula de energía negativa.

El precio es que hay una falta de uniformidad en ciertas expresiones, porque reemplazar la aniquilación con la creación agrega una constante al número de partículas de energía negativa. El operador numérico para un campo Fermi ^[8] es:

$${\displaystyle N=a^{\dagger }a=1-aa^{\dagger }}$$

lo que significa que si uno reemplaza N por 1-N para estados de energía negativa , hay un cambio constante en cantidades como la energía y la densidad de carga, cantidades que cuentan el número total de partículas. La constante infinita le da al mar de Dirac una energía y una densidad de carga infinitas. La densidad de carga del vacío debe ser cero, ya que el vacío es invariante de Lorentz , pero esto es artificial de organizar en la imagen de Dirac. La forma en que se hace es pasando a la interpretación moderna.

La idea de Dirac es más directamente aplicable a la física del estado sólido , donde la banda de valencia en un sólido puede considerarse como un "mar" de electrones. De hecho, se producen agujeros en este mar y son extremadamente importantes para comprender los efectos de los semiconductores , aunque nunca se les llama "positrones". A diferencia de la física de partículas, hay una carga positiva subyacente, la carga de la red iónica , que anula la carga eléctrica del mar.

Renacimiento en la teoría de los sistemas de fermiones causales

El concepto original de Dirac de un mar de partículas revivió en la teoría de los sistemas de fermiones causales , una propuesta reciente para una teoría física unificada. En este enfoque, los problemas de la energía de vacío infinita y la densidad de carga infinita del mar de Dirac desaparecen porque estas divergencias desaparecen de las ecuaciones físicas formuladas mediante el principio de acción causal . ^[9] Estas ecuaciones no requieren un espacio-tiempo preexistente, lo que hace posible realizar el concepto de que el espacio-tiempo y todas las estructuras en él surgen como resultado de la interacción colectiva de los estados del mar entre sí y con las partículas adicionales y "agujeros" en el mar.

Ver también

• Mar de fermi
• Positronio
• Polarización de vacío
• Partícula virtual

Comentarios

1. Sin embargo, esta no fue la intención original de Dirac, comoindicael título de su artículo de 1930 ( A Theory of Electrons and Protons ). Pero poco después quedó claro que la masa de los huecos debía ser la del electrón.

Notas

1. Dirac 1930
2. Greiner 2000
3. Alvarez-Gaume y Vazquez-Mozo 2005
4. Dirac, 1931
5. Greiner 2000 , págs. 107-109
6. Greiner 2000 , p. 15
7. Greiner 2000 , p. 117
8. Sattler 2010
9. Finster 2011

Referencias

• Álvarez-Gaume, Luis; Vázquez-Mozo, Miguel A. (2005). "Conferencias de introducción a la teoría cuántica de campos". CERN Informe amarillo CERN . 1 (96): 2010–001. arXiv : hep-th / 0510040 . Código Bib : 2005hep.th ... 10040A .
• Dirac, PAM (1930). "Una teoría de electrones y protones" . Proc. R. Soc. Lond. Una . 126 (801): 360–365. Código bibliográfico : 1930RSPSA.126..360D . doi : 10.1098 / rspa.1930.0013 . JSTOR  95359 .
• Dirac, PAM (1931). "Singularidades cuantificadas en los campos electromagnéticos" . Proc. Roy. Soc. Una . 133 (821): 60–72. Código Bibliográfico : 1931RSPSA.133 ... 60D . doi : 10.1098 / rspa.1931.0130 . JSTOR  95639 .
• Finster, F. (2011). "Una formulación de la teoría cuántica de campos realizando un mar de partículas de Dirac que interactúan". Letón. Matemáticas. Phys . 97 (2): 165–183. arXiv : 0911.2102 . Código Bibliográfico : 2011LMaPh..97..165F . doi : 10.1007 / s11005-011-0473-1 . ISSN  0377-9017 . S2CID  39764396 .
• Greiner, W. (2000). Mecánica cuántica relativista. Ecuaciones de onda (3ª ed.). Springer Verlag . ISBN 978-3-5406-74573. (El capítulo 12 está dedicado a la teoría de los agujeros).
• Sattler, KD (2010). Manual de nanofísica: principios y métodos . Prensa CRC . págs. 10–4. ISBN 978-1-4200-7540-3. Consultado el 24 de octubre de 2011 .