Espacio vectorial graduado
En matemáticas , un espacio vectorial graduado es un espacio vectorial que tiene la estructura adicional de una clasificación o una gradación , que es una descomposición del espacio vectorial en una suma directa de subespacios vectoriales.
Sea el conjunto de los enteros no negativos. Un espacio vectorial graduado , a menudo llamado simplemente espacio vectorial graduado sin el prefijo , es un espacio vectorial V junto con una descomposición en una suma directa de la forma
donde cada uno es un espacio vectorial. Para un n dado , los elementos de se denominan entonces elementos homogéneos de grado n .
Los espacios vectoriales graduados son comunes. Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios en una o varias variables forma un espacio vectorial graduado, donde los elementos homogéneos de grado n son exactamente las combinaciones lineales de monomios de grado n .
Los subespacios de un espacio vectorial graduado no necesitan estar indexados por el conjunto de números naturales y pueden estar indexados por los elementos de cualquier conjunto I. Un espacio vectorial V graduado en I es un espacio vectorial junto con una descomposición en una suma directa de subespacios indexados por elementos i del conjunto I :
Por lo tanto, un espacio vectorial graduado, como se define arriba, es solo un espacio vectorial clasificado como I donde el conjunto I es (el conjunto de los números naturales ).